Formule de Grassmann

Formule de Grassmann — Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels d'un même espace vectoriel $E$ . Alors

\dim(F)+\dim(G)=\dim(F+G)+\dim(F\cap G).

Si $F$ et $G$ sont de dimensions respectives finies, il en résulte que $F + G$ aussi et que

\dim(F+G)=\dim(F)+\dim(G)-\dim(F\cap G).

Deux démonstrations

Les applications linéaires suivantes : $0\to F\cap G\to F\times G\to F+G\to 0,$ où la deuxième application est $x\mapsto (x,x)$ et la troisième $(x,y)\mapsto x-y$ , forment une suite exacte courte. Par conséquent, d'après le théorème du rang (même en dimension infinie) : $\dim(F\cap G)+\dim(F+G)=\dim(F\times G).$ La formule de Grassmann en résulte puisque dim(F×G) = dim(F) + dim(G).
Une autre idée est de remarquer l'analogie de cette formule avec la suivante (valide même pour des ensembles infinis) et de l'en déduire : ${\text{card}}(A)+{\text{card}}(B)={\text{card}}(A\cup B)+{\text{card}}(A\cap B).$ Il suffit en effet, pour identifier terme à terme cette équation avec $\dim(F)+\dim(G)=\dim(F+G)+\dim(F\cap G),$ de choisir une base $C$ de $F\cap G$ et de la compléter en une base $A$ de $F$ d'une part et en une base $B$ de $G$ d'autre part : $A\cup B$ sera alors une base de $F+G$ et $A\cap B$ sera égal à la base $C$ de $F\cap G.$

Références

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