Formule de Riemann-von Mangoldt

En mathématiques, la formule de Riemann-von Mangoldt, du nom de Bernhard Riemann et Hans Carl Friedrich von Mangoldt, décrit la distribution des zéros de la fonction zêta de Riemann.

La formule indique que le nombre ${\textstyle N(T)}$ de zéros de la fonction zêta avec une partie imaginaire supérieure à ${\textstyle 0}$ et inférieure ou égale à $T$ satisfait

N(T)={\frac {T}{2\pi }}\ln {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+O(\ln {T}).

Cette formule a été conjecturée par Riemann dans son mémoire Sur le nombre d'amorces inférieures à une ampleur donnée (1859) et a finalement été prouvée par von Mangoldt en 1895.

Backlund[1] donne une forme explicite de l'erreur pour tout $T$ supérieur à ${\textstyle 2}$ :

\left\vert {N(T)-\left({{\frac {T}{2\pi }}\ln {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}}-{\frac {7}{8}}\right)}\right\vert <0.137\,\ln T+0.443\,\ln(\ln \,T)+4.350.

Conséquences de la formule

La fonction zêta de Riemann possède une infinité de zéros non triviaux.
Si $(\gamma _{n})_{n\geqslant 1}$ désigne la suite croissante des parties imaginaires des zéros de la fonction $\xi$ de Riemann dans le demi-plan supérieur, alors ${\textstyle \gamma _{n}\sim 2\pi \,n/\ln \,n}$ pour $n\rightarrow \infty$ [2]. Littlewood[3] (1924) a montré que $\gamma _{n+1}-\gamma _{n}\rightarrow 0.$

Voir aussi

Harold Edwards, Riemann's zeta function, vol. 58, New York-London, Academic Press, coll. « Pure and Applied Mathematics », 1974 (ISBN 0-12-232750-0, zbMATH 0315.10035)
Aleksandar Ivić, The theory of Hardy's Z-function, vol. 196, Cambridge, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Tracts in Mathematics », 2013 (ISBN 978-1-107-02883-8, zbMATH 1269.11075)
S. J. Patterson, An introduction to the theory of the Riemann zeta-function, vol. 14, Cambridge, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics », 1988 (ISBN 0-521-33535-3, zbMATH 0641.10029)

Références

(de) R. J. Backlund, « Über die Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion », Acta Mathematica, vol. 41, n^o 0,‎ 1916, p. 345–375 (ISSN 0001-5962, DOI 10.1007/BF02422950, lire en ligne, consulté le 9 février 2020)
Tenenbaum, Gérald, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres (quatrième édition mise à jour), Belin, dl 2015 (ISBN 978-2-7011-9656-5 et 2-7011-9656-6, OCLC 933777932, lire en ligne), pp. 241-251
J. E. Littlewood, « On the zeros of the Riemann zeta-function », Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 22, n^o 3,‎ 20 septembre 1924, p. 295–318 (ISSN 0305-0041 et 1469-8064, DOI 10.1017/s0305004100014225, lire en ligne, consulté le 9 février 2020)

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[1] (de) R. J. Backlund, « Über die Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion », Acta Mathematica, vol. 41, n^o 0,‎ 1916, p. 345–375 (ISSN 0001-5962, DOI 10.1007/BF02422950, lire en ligne, consulté le 9 février 2020)

[2] Tenenbaum, Gérald, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres (quatrième édition mise à jour), Belin, dl 2015 (ISBN 978-2-7011-9656-5 et 2-7011-9656-6, OCLC 933777932, lire en ligne), pp. 241-251

[3] J. E. Littlewood, « On the zeros of the Riemann zeta-function », Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 22, n^o 3,‎ 20 septembre 1924, p. 295–318 (ISSN 0305-0041 et 1469-8064, DOI 10.1017/s0305004100014225, lire en ligne, consulté le 9 février 2020)