Fonction xi de Riemann

Ce qu’on appelle aujourd’hui la fonction ${\displaystyle \xi }$ (prononcée "xi") de Riemann est définie pour tout ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ par

$${\displaystyle \xi (s):={\frac {1}{2}}s(s-1)\,\pi ^{-s/2}\,\Gamma \left({\frac {1}{2}}s\right)\zeta (s),}$$

où ${\displaystyle \zeta (s)}$ désigne la fonction zêta de Riemann et ${\displaystyle \Gamma (s)}$ est la fonction Gamma. Cette notation est due à Edmund Landau. La fonction que Riemann notait ${\displaystyle \xi }$ a été rebaptisée ${\displaystyle \Xi }$ par Landau[1] et satisfait

$${\displaystyle \Xi (z)=\xi \left({\tfrac {1}{2}}+zi\right).}$$

L'équation fonctionnelle de ${\displaystyle ~\xi ~}$ est donnée par

$${\displaystyle \xi (1-s)=\xi (s),}$$

provenant de l'équation fonctionnelle de ${\displaystyle \zeta }$ . Celle de ${\displaystyle ~\Xi ~}$ est donnée par

$${\displaystyle \Xi (-z)=\Xi (z)~.}$$

De nombreuses propriétés de ${\displaystyle ~\xi ~}$ découlent de celles de ${\displaystyle ~\zeta ~}$: par exemple, ${\displaystyle \xi }$ est holomorphe dans tout le plan complexe (et on a ${\displaystyle \xi (0)=\xi (1)=1/2}$). De plus, tous ses zéros sont dans la bande critique ${\textstyle 0<{\mathcal {R}}e(s)<1}$ et dans cette dernière, ${\displaystyle ~\xi ~}$ possède les mêmes zéros que ${\displaystyle \zeta }$ [2].

La forme générale des valeurs aux entiers pairs positifs est donnée par

$${\displaystyle \xi (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {n!}{(2n)!}}B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n}(2n-1)}$$

où ${\displaystyle B_{n}}$ désigne le n-ième nombre de Bernoulli. Par exemple, on a ${\textstyle \xi (2)={\pi }/{6}}$.

La fonction possède le développement en série

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\ln \xi \left({\frac {-z}{1-z}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n},}$

où

${\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} s^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}=\sum _{\varrho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\varrho }}\right)^{n}\right],}$

où la somme s'étend sur ${\displaystyle \varrho }$, les zéros non triviaux de la fonction zêta, dans l'ordre de la valeur absolue de sa partie imaginaire.

Cette expansion joue un rôle particulièrement important dans le critère de Li, qui stipule que l'hypothèse de Riemann équivaut à avoir ${\textstyle \lambda _{n}>0}$ pour tout n positif.

En notant ${\textstyle \varrho =\beta +i\,\gamma }$ un zéro quelconque de ${\displaystyle \xi }$, on pose

$${\displaystyle N(T):=\sum _{\varrho \,:\,0\leqslant \gamma \leqslant T}1.}$$

La formule de Riemann-von Mangoldt établit alors une formule asymptotique pour cette fonction lorsque ${\displaystyle T\rightarrow +\infty }$

$${\displaystyle N(T)={\frac {T}{2\pi }}\ln {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+O(\ln {T}).}$$

En particulier, cela implique que ${\displaystyle \zeta }$ possède une infinité de zéros non triviaux[2].

Le développement de Hadamard relatif aux zéros de ${\displaystyle \xi }$ est donné par[2]

$${\displaystyle \xi (s)=\mathrm {e} ^{as}\,\prod _{\varrho }\left(1-{\frac {s}{\varrho }}\right)\mathrm {e} ^{s/\varrho }}$$

où ${\textstyle a={\tfrac {1}{2}}\ln(4\pi )-{\tfrac {1}{2}}\gamma -1\approx -0,02310}$ (${\displaystyle \gamma }$ étant la constante d'Euler-Mascheroni). On en déduit alors le développement pour ${\displaystyle \zeta }$

$${\displaystyle \zeta (s)={\frac {\mathrm {e} ^{bs}}{2(s-1)}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}+1\right)^{-1}\,\prod _{\varrho }\left(1-{\frac {s}{\varrho }}\right)\mathrm {e} ^{s/\varrho }\qquad (s\neq 1)}$$

où ${\textstyle b=\ln(2\pi )-{\tfrac {1}{2}}\gamma -1\approx 0,54927}$ (avec la même définition pour ${\displaystyle \gamma }$).

• Weisstein, Eric W. "Xi-Function". MathWorld.
• Keiper, « Power series expansions of Riemann's xi function », Mathematics of Computation, vol. 58, n^o 198,‎ 1992, p. 765–773 (DOI 10.1090/S0025-5718-1992-1122072-5, Bibcode 1992MaCom..58..765K).
• Cet article s'inspire de sa version anglaise " Riemann Xi function ".

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