Nombre de Bernoulli

Les nombres de Bernoulli ont été découverts à peu près en même temps et indépendamment par le mathématicien suisse Jacques Bernoulli, dont ils portent le nom, et par le mathématicien japonais Seki Takakazu. La découverte de Seki a été publiée à titre posthume en 1712[1] dans son ouvrage Katsuyō Sanpō ; celle de Bernoulli, également à titre posthume, dans son Ars Conjectandi publié en 1713. Ada Lovelace, en 1842, traduisant et annotant une description de la machine analytique de Babbage publiée par le mathématicien italien Louis-Frédéric Ménabréa en français dans un journal suisse[2], décrit dans la note G un algorithme permettant de générer des nombres de Bernoulli avec cette machine[3]. Par conséquent, les nombres de Bernoulli ont la particularité de faire l'objet du premier programme informatique complexe publié[4].

Jacques Bernoulli connaissait quelques formules comme[5]^,[6]^,[7] :

${\displaystyle {\begin{aligned}1+2+3+\cdots +(n-1)&={\frac {1}{2}}n^{2}-{\frac {n}{2}}&&={\frac {n(n-1)}{2}}\,;\\1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +{(n-1)}^{2}&={\frac {1}{3}}n^{3}-{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {n}{6}}&&={\frac {n(n-1)(2n-1)}{6}}\,;\\1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +{(n-1)}^{3}&={\frac {1}{4}}n^{4}-{\frac {1}{2}}n^{3}+{\frac {1}{4}}n^{2}&&={\frac {n^{2}(n-1)^{2}}{4}}\,;\\1^{4}+2^{4}+3^{4}+\cdots +{(n-1)}^{4}&={\frac {1}{5}}n^{5}-{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{3}}n^{3}-{\frac {n}{30}}&&={\frac {n(n-1)(2n-1)(3n^{2}-3n-1)}{30}}\,;\\1^{5}+2^{5}+3^{5}+\cdots +{(n-1)}^{5}&={\frac {1}{6}}n^{6}-{\frac {1}{2}}n^{5}+{\frac {5}{12}}n^{4}-{\frac {1}{12}}n^{2}&&={n^{2}(n-1)^{2}(2n^{2}-2n-1) \over 12}.\end{aligned}}}$

Bernoulli observa que l'expression

${\displaystyle S_{m}(n)=\sum _{k=0}^{n-1}k^{m}=0^{m}+1^{m}+2^{m}+\cdots +{(n-1)}^{m}}$

est toujours un polynôme en n, de degré m + 1, de terme constant nul, dont le monôme dominant est n^m+1/m+1 et le monôme de degré m est[8] (si m > 0) –n^m/2. On démontre (voir plus bas le paragraphe « Formules de récurrence ») que plus généralement, pour 0 ≤ k ≤ m, le coefficient de n^m+1–k est le produit de m!/(m + 1 – k)! par un nombre rationnel B_k qui dépend seulement de k et pas de m. On peut donc définir les nombres de Bernoulli B_k par :

${\displaystyle S_{m}(n)=\sum _{k=0}^{m}{\frac {m!}{(m+1-k)!}}{\frac {B_{k}}{k!}}\,n^{m+1-k}={1 \over {m+1}}\sum _{k=0}^{m}{m+1 \choose k}B_{k}\,n^{m+1-k}=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}B_{k}\,{\frac {n^{m+1-k}}{m+1-k}}.}$

En particulier, le coefficient de n dans le polynôme S_m(n) est le nombre B_m.

En donnant à m la valeur 0, on obtient (avec 0⁰ = 1) : pour tout entier n > 0,

${\displaystyle B_{0}n=S_{0}(n)=0^{0}+1^{0}+\cdots +(n-1)^{0}=n,}$

ce qui montre que B₀ = 1.

En donnant à m la valeur 1, on obtient :

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(B_{0}n^{2}+2B_{1}n)=S_{1}(n)=0+1+2+\ldots +(n-1)={\frac {1}{2}}(n^{2}-n),}$

ce qui confirme que B₀ = 1 et montre que B₁ = –1/2.

En donnant à m la valeur 2, on obtient :

${\displaystyle {\frac {1}{3}}(B_{0}n^{3}+3B_{1}n^{2}+3B_{2}n)=S_{2}(n)=0^{2}+1^{2}+2^{2}+\ldots +(n-1)^{2}={\frac {1}{3}}\left(n^{3}-{\frac {3}{2}}n^{2}+{\frac {n}{2}}\right),}$

ce qui montre de plus que B₂ = 1/6.

En donnant à m la valeur 3, on obtient :

${\displaystyle {\frac {1}{4}}(B_{0}n^{4}+4B_{1}n^{3}+6B_{2}n^{2}+4B_{3}n)=S_{3}(n)=0^{3}+1^{3}+2^{3}+\ldots +(n-1)^{3}={\frac {1}{4}}(n^{4}-2n^{3}+n^{2}),}$

ce qui montre aussi que B₃ = 0.

À partir de la condition initiale B₀ = 1, on peut calculer les nombres de Bernoulli par récurrence en utilisant le fait que

${\displaystyle \forall m\in \mathbb {N} ^{*}\quad {\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}{m+1 \choose k}B_{k}=S_{m}(1)=\sum _{k=0}^{0}k^{m}=0^{m}=0,}$

ce qui peut se voir comme une relation de récurrence[8] :

${\displaystyle (m+1)B_{m}=-\sum _{k=0}^{m-1}{m+1 \choose k}B_{k}.}$

Cette suite d'équations linéaires[9]

${\displaystyle 1+2B_{1}=0,}$

${\displaystyle 1+3B_{1}+3B_{2}=0,}$

${\displaystyle 1+4B_{1}+6B_{2}+4B_{3}=0,}$

${\displaystyle 1+5B_{1}+10B_{2}+10B_{3}+5B_{4}=0,}$ etc.

donne successivement B₁ = –1/2, B₂ = 1/6, B₃ = 0, B₄ = –1/30, etc. Par exemple, le détail du calcul de B₄ est :

${\displaystyle 5B_{4}=-(1+5B_{1}+10B_{2}+10B_{3})=-\left(1-{\frac {5}{2}}+{\frac {10}{6}}\right)=-{\frac {1}{6}}.}$

Les polynômes de Bernoulli B_m(X) sont reliés aux nombres de Bernoulli par

${\displaystyle B_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}B_{k}\,x^{m-k}.}$

Ils vérifient les relations :

• ${\displaystyle B_{0}(X)=1}$ ;
• ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad B'_{n+1}(X)=(n+1)B_{n}(X)}$ ;
• ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad \int _{0}^{1}B_{n}(x){\rm {d}}x=0}$ ;
• B_m (0) = B_m si m ≥ 0 (le terme constant du polynôme de Bernoulli est égal au nombre de Bernoulli de même indice) ;
• B_m (1) = B_m si m ≠ 1.

Les polynômes S_m(n) sont également liés aux polynômes de Bernoulli :

${\displaystyle \forall m,n\in \mathbb {N} \quad S_{m}(n)={\frac {B_{m+1}(n)-B_{m+1}(0)}{m+1}}.}$

De

${\displaystyle B'_{n+1}=(n+1)B_{n},}$

on déduit que

${\displaystyle S'_{m}(X)={\frac {B'_{m+1}(X)}{m+1}}=B_{m}(X).}$

Par conséquent, les polynômes S_m sont les primitives des polynômes de Bernoulli qui s'annulent en zéro :

${\displaystyle S_{m}(x)=\int _{0}^{x}B_{m}(t){\rm {d}}t=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}B_{k}\,{\frac {x^{m+1-k}}{m+1-k}}.}$

On utilise parfois la notation b_n pour distinguer les nombres de Bernoulli des nombres de Bell.

La définition employée dans cet article vérifie B_m = B_m(0) où B_m(x) désigne le polynôme de Bernoulli.

On rencontre également la convention B_m = B_m(1), où B_m(x) désigne le polynôme de Bernoulli.

Les deux conventions ne diffèrent que pour le signe de B₁ ; on a :

${\displaystyle B_{1}(0)=-{\frac {1}{2}}\qquad \,;\qquad B_{1}(1)=+{\frac {1}{2}}.}$

Une autre notation, utilisée en topologie[10], est de considérer les termes pairs sans leur signe (on a b_2k = (–1)^k–1|b_2k|) :

${\displaystyle b_{m}=B_{m}(0)\qquad \,;\,\qquad B_{m}=|b_{2m}|.}$

Les nombres de Bernoulli peuvent aussi être définis par l'intermédiaire d'une fonction génératrice. La série génératrice exponentielle associée à la suite est x / (e^x – 1), de telle sorte que

${\displaystyle {\frac {x}{{\rm {e}}^{x}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}}$

pour tout x de valeur absolue inférieure à 2π (le rayon de convergence de cette série entière).

Cette définition peut être montrée équivalente à la précédente à l'aide d'un raisonnement par récurrence : le premier terme de la série est clairement B₀ (par prolongement par continuité).

Pour obtenir la relation de récurrence, on multiplie les deux côtés de l'équation par e^x – 1. Alors, en utilisant les séries de Taylor pour la fonction exponentielle, ${\displaystyle x=\left(\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {x^{j}}{j!}}\right)\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {B_{k}x^{k}}{k!}}\right).}$

En développant ceci en produit de Cauchy et en réarrangeant légèrement, on obtient

${\displaystyle x=\sum _{m=0}^{\infty }\left(\sum _{j=0}^{m}{m+1 \choose j}B_{j}\right){\frac {x^{m+1}}{(m+1)!}}.}$

Il est clair, à partir de cette dernière égalité, que les coefficients dans cette série entière satisfont la même relation de récurrence que les nombres de Bernoulli (voir paragraphe : « Calcul des nombres de Bernoulli par récurrence »).

Les premiers nombres de Bernoulli sont les suivants :

À l'aide de la fonction génératrice, on peut démontrer que B_n = 0 lorsque n est impair et différent de 1, et que les signes des B_n alternent pour n pair. On a donc :

${\displaystyle B_{2k}=(-1)^{k-1}|B_{2k}|.}$

On justifie ici la définition des nombres de Bernoulli annoncée dans l'introduction. Repartons des sommes

${\displaystyle S_{m}(n)=\sum _{k=0}^{n-1}k^{m}}$

pour tous entiers naturels m et n (en particulier, S_m(0) = 0).

On remarque que (d'après la formule du binôme après réindexation) :

${\displaystyle S_{m+1}(n+1)=\sum _{k=1}^{n}k^{m+1}=\sum _{k=0}^{n-1}(k+1)^{m+1}=\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{m+1}{\binom {m+1}{j}}k^{j}=\sum _{j=0}^{m+1}{\binom {m+1}{j}}S_{j}(n)=S_{m+1}(n)+\sum _{j=0}^{m}{\binom {m+1}{j}}S_{j}(n),}$

${\displaystyle n^{m+1}=S_{m+1}(n+1)-S_{m+1}(n)=\sum _{j=0}^{m}{\binom {m+1}{j}}S_{j}(n)=(m+1)S_{m}(n)+\sum _{j=0}^{m-1}{\binom {m+1}{j}}S_{j}(n)}$

et l'on obtient finalement :

${\displaystyle \forall m,n\in \mathbb {N} \quad S_{m}(n)={\frac {n^{m+1}}{m+1}}-m!\sum _{j=0}^{m-1}{\frac {S_{j}(n)}{j!(m+1-j)!}},}$

ce qu'on peut voir comme une définition des S_m(n) par récurrence sur m (incluant l'initialisation S₀(n) = n). C'est cette approche qui permet de démontrer par récurrence que les coefficients de S_m(n) sont bien de la forme donnée dans l'introduction : ${\displaystyle S_{m}(n)=\sum _{i=0}^{m}{\frac {m!}{(m+1-i)!}}{\frac {B_{i}}{i!}}\,n^{m+1-i}}$.

Pour tout j ≥ 0, notons B_j le coefficient de n dans S_j(n), ${\displaystyle S_{j}(n)=B_{j}n+\sum _{k<j}c_{k,j}n^{j+1-k}}$, et déduisons de la formule de récurrence des S_m(n) ci-dessus, par récurrence sur j, que le coefficient c_k,j de n^j+1–k dans S_j(n) est le produit de j!/(j + 1 – k)! par B_k/k! non seulement pour k = j, mais aussi pour tout entier naturel k < j (ce qui est immédiat pour k = 0). En supposant la propriété vraie pour tout j < m, on trouve comme coefficient c_m,i de n^m+1–i dans S_m(n), pour 0 < i < m :

${\displaystyle c_{m,i}=-m!\sum _{{j<m,\,k\geqslant 0} \atop {j+1-k=m+1-i}}{1 \over j!(m+1-j)!}{j! \over (j+1-k)!}{B_{k} \over k!}={m! \over (m+1-i)!}\sum _{k=0}^{i-1}{-B_{k} \over (i+1-k)!k!}={m! \over (m+1-i)!}{B_{i} \over i!},}$

la première égalité résultant de l'hypothèse de récurrence et la dernière égalité résultant du § Calcul des nombres de Bernoulli par récurrence :

${\displaystyle B_{i}=-{\frac {1}{i+1}}\sum _{k=0}^{i-1}{i+1 \choose k}B_{k}=-\sum _{k=0}^{i-1}{\frac {i!}{(i+1-k)!k!}}B_{k}.}$

La première relation a été obtenue par Leonhard Euler[11]^,[12] sous la forme suivante

${\displaystyle B_{2n}=(-1)^{n+1}{\frac {2(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}\left[1+{\frac {1}{2^{2n}}}+{\frac {1}{3^{2n}}}+{\frac {1}{4^{2n}}}+\cdots \;\right].}$

(On peut l'obtenir comme corollaire du calcul de la série de Fourier des polynômes de Bernoulli.)

La relation s'écrit en utilisant la fonction zêta de Riemann :

${\displaystyle B_{2n}=(-1)^{n-1}{\frac {2\,(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}\;\zeta (2n),}$

relation qui entraîne (pour n > 0) :

${\displaystyle 2\,\zeta (2n)={\frac {(2\pi )^{2n}}{(2n)!}}\,|B_{2n}|.}$

Les premiers nombres de Bernoulli B_n(1) (ordonnées des points rouges) sont donnés par la fonction –x ζ(1–x) (courbe en bleu).

L'apparition de B₁₂ = –691/2730 semble montrer que les valeurs des nombres de Bernoulli ne peuvent pas être décrites simplement ; en fait, ce sont essentiellement des valeurs de la fonction ζ de Riemann pour des valeurs entières négatives de la variable, puisque

${\displaystyle \zeta (-n)=(-1)^{n}{\frac {B_{n+1}}{n+1}}}$

et l'on sait que cette dernière est d'étude difficile (voir hypothèse de Riemann).

Il est possible d'exprimer les nombres de Bernoulli grâce à la fonction zêta de Riemann de la façon suivante :

${\displaystyle B_{n}=-n\zeta (1-n)\quad n>1}$

et

${\displaystyle B_{1}=\zeta (0).}$

En particulier :

${\displaystyle \zeta (0)=B_{1}=-{\frac {1}{2}}\,,\qquad \zeta (-1)=-{\frac {1}{12}},\qquad \zeta (-3)={\frac {1}{120}},\!\qquad \zeta (-5)=-{\frac {1}{252}},\!\qquad \zeta (-7)={\frac {1}{240}}.}$

Croissance des logarithmes des nombres de Bernoulli d'indice pair. Le graphe bleu (trait continu) montre ${\displaystyle \log |B_{\lfloor 2x\rfloor }|}$, le graphe rouge (en pointillés) montre l'équivalent asymptotique ${\displaystyle \textstyle \log \left(4{\sqrt {\pi x}}\left({\frac {x}{\pi {\rm {e}}}}\right)^{2x}\right)}$.

On a l'égalité suivante pour les nombres de Bernoulli d'indice pair :

${\displaystyle |B_{2n}|={\frac {(2n)!\zeta (2n)}{2^{2n-1}\pi ^{2n}}}.}$

De la définition de la fonction zêta de Riemann, on déduit que ζ(2n) > 1 (si n > 0,5). Par conséquent, on a l'encadrement :

${\displaystyle {\frac {2\;(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}<|B_{2n}|\leqslant {\frac {2\zeta (2)\;(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}.}$

De l'inégalité ${\displaystyle {\rm {e}}^{2n}>{\frac {(2n)^{2n}}{(2n)!}}}$ (si n > 0), on déduit que : ${\displaystyle (2n)!>\left({\frac {2n}{\rm {e}}}\right)^{2n}}$ (si n > 0) , donc :

${\displaystyle |B_{2n}|>2\left({\frac {n}{\pi {\rm {e}}}}\right)^{2n}.}$

Par conséquent :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|B_{2n}|=+\infty .}$

On a l'équivalent :

${\displaystyle B_{2n}\sim (-1)^{n-1}{\frac {2\;(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}}$.

En utilisant la formule de Stirling pour écrire un équivalent de (2n)!, on démontre l'équivalent quand n tend vers l'infini :

${\displaystyle \left|B_{2n}\right|\sim 4{\sqrt {\pi n}}\left({\frac {n}{\pi {\rm {e}}}}\right)^{2n}}$.

Les nombres de Bernoulli apparaissent dans le développement en série de Taylor des fonctions tangentes (circulaire et hyperbolique), dans la formule d'Euler-Maclaurin ainsi que dans des expressions de certaines valeurs de la fonction zêta de Riemann.

Formule d'Euler-Maclaurin

Soit a un nombre réel et N un entier naturel. Si f est une application de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ (avec k ≥ 1) sur [a, a + N].

${\displaystyle f(a)+f(a+1)+f(a+2)+\cdots +f(a+N-1)=\int _{a}^{a+N}f(x)\,{\rm {d}}x+\sum _{j=1}^{k}B_{j}{\frac {f^{(j-1)}(a+N)-f^{(j-1)}(a)}{j!}}+R_{k,a,N}}$

avec

${\displaystyle R_{k,a,N}={\frac {(-1)^{k-1}}{k!}}\int _{a}^{a+N}f^{(k)}(x){\tilde {B_{k}}}(x-a)\,{\rm {d}}x}$

où ${\displaystyle {\tilde {B_{k}}}(x)}$ est la fonction périodique de période 1 égale à B_k(x), le polynôme de Bernoulli d'indice k, sur l'intervalle [0 ; 1[.

${\displaystyle {\tilde {B_{k}}}(t)=B_{k}(t-\lfloor t\rfloor )}$

où ⌊t⌋ désigne la partie entière de t.

Développements en série de Taylor

À partir de la fonction génératrice,

${\displaystyle {\frac {x}{{\rm {e}}^{x}-1}}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}{\frac {x^{k}}{k!}}=1-{\dfrac {x}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }B_{2n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}},|x|<2\pi }$,

on démontre les formules suivantes[13] :

${\displaystyle 1-{\frac {x}{2}}\;\operatorname {cotan} {\frac {x}{2}}=\sum _{n=1}^{\infty }|B_{2n}|{\frac {x^{2n}}{(2n)!}},|x|<2\pi ,}$ ${\displaystyle x\;\operatorname {cotan} x=1-\sum _{n=1}^{\infty }|B_{2n}|{\frac {2^{2n}}{(2n)!}}x^{2n},|x|<\pi ,}$ ${\displaystyle \operatorname {cotan} x={\dfrac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }|B_{2n}|{\frac {2^{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1},0<|x|<\pi ,}$ ${\displaystyle {\dfrac {1}{\sin x}}={\dfrac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }|B_{2n}|{\frac {2(2^{2n-1}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1},0<|x|<\pi ,}$ ${\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }|B_{2n}|{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1},|x|<\pi /2,}$

${\displaystyle {\dfrac {2}{{\rm {e}}^{x}+1}}=1-\sum _{n=1}^{\infty }B_{2n}{\frac {2(2^{2n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1},|x|<\pi ,}$ ${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {{\rm {e}}^{x}+1}{{\rm {e}}^{x}-1}}={\dfrac {1}{2}}\,\operatorname {coth} ({\frac {x}{2}})={\dfrac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }B_{2n}{\frac {x^{2n-1}}{(2n)!}},0<|x|<2\pi ,}$ ${\displaystyle \operatorname {coth} x={\frac {{\rm {e}}^{x}+{\rm {e}}^{-x}}{{\rm {e}}^{x}-{\rm {e}}^{-x}}}={\dfrac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }B_{2n}{\frac {2^{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1},0<|x|<\pi ,}$ ${\displaystyle {\dfrac {1}{\operatorname {sh} x}}={\dfrac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }B_{2n}{\frac {2(2^{2n-1}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1},0<|x|<\pi ,}$ ${\displaystyle \operatorname {th} x=\sum _{n=1}^{\infty }B_{2n}{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1},|x|<\pi /2.}$

Les nombres ${\displaystyle T_{n}=|B_{2n}|{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)}{2n}}}$ sont des nombres entiers appelés nombres tangents ou nombres d'Euler de deuxième espèce[14].

On a le développement suivant : ${\displaystyle \operatorname {tan} x=\sum _{n=1}^{\infty }T_{n}{\frac {x^{2n-1}}{(2n-1)!}},|x|<\pi /2.}$

La formule de Kervaire-Milnor pour l'ordre du groupe cyclique des classes de difféomorphismes des (4n − 1)-sphères exotiques qui bordent des variétés parallélisables pour n ≥ 2 fait intervenir les nombres de Bernoulli : si N_n est le numérateur de B_4n/n, alors le nombre de ces classes de difféomorphisme de sphères exotiques est

${\displaystyle 2^{2n-2}(1-2^{2n-1})N_{n}.}$

La formule donnée dans les articles de topologie diffère car les topologues utilisent une convention différente pour nommer les nombres de Bernoulli (ils notent B_n la suite 1, 1/6, 1/30…).

On peut en fait également définir les B_n sans récurrence : utilisant les nombres de Stirling (de deuxième espèce), on a (pour n > 1)[16]

${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {k!}{k+1}}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}.}$

d'où (en utilisant les formules explicites pour les nombres de Stirling et en simplifiant)

${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {k!}{k+1}}\left({\frac {1}{k!}}\sum _{j=1}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}j^{n}\right)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {k}{j}}j^{n}.}$

On trouve assez souvent dans la littérature l'affirmation selon laquelle des formules explicites pour les nombres de Bernoulli n'existent pas[17] ; les deux dernières équations montrent qu'il n'en est rien. En fait, dès 1893, Louis Saalschütz (de) recensait un total de 38 formules explicites, donnant généralement des références bien plus anciennes.