Nombre premier régulier

En mathématiques, un nombre premier p > 2 est dit régulier si une certaine propriété liée aux racines du polynôme X^p – 1 est vérifiée. Cette notion a été introduite par Ernst Kummer en 1847, en vue de démontrer le « dernier théorème de Fermat »[1], dans un article intitulé « Beweis des Fermat'schen Satzes der Unmöglichkeit von x^λ+y^λ = z^λ für eine unendliche Anzahl Primzahlen λ ».

Définitions

Un nombre premier impair p est dit régulier s'il ne divise pas le nombre de classes du corps cyclotomique ℚ(ζ_p), où ζ_p est une racine primitive p-ième de l'unité.

Une manière de tester la régularité en pratique est donnée par le critère de Kummer : p est régulier si et seulement s'il ne divise le numérateur d'aucun des nombres de Bernoulli B_k, pour k prenant les valeurs paires entre 2 et p – 3.

Un nombre premier irrégulier est un nombre premier impair non régulier[2]. Les nombres premiers irréguliers forment la suite A000928 de l'OEIS : 37, 59, 67, 101, etc., les réguliers formant la suite A007703.

Il existe une infinité de nombres premiers irréguliers. Plus précisément, un théorème de Metsänkylä (fi)[3] assure que pour tout sous-groupe propre H du groupe des unités de l'anneau ℤ/nℤ, il existe une infinité de nombres premiers irréguliers dont la classe modulo n n'appartient pas à H.

En revanche, l'existence d'une infinité de nombres premiers réguliers reste une question ouverte[4].

Travaux de Kummer

Le travail de Kummer permet précisément de montrer l'assertion suivante : si p est un nombre premier régulier, l'équation x^p + y^p = z^p n'a pas de solutions pour x, y et z entiers relatifs tous non divisibles par p. Le point central de l'argument, développé en termes modernes, est qu'une telle identité se factorise en :

\prod _{i=0}^{p-1}(x+\zeta _{p}^{i}y)=z^{p},

dans le corps ℚ(ζ_p). Cette égalité peut alors être interprétée comme une égalité entre le produit des idéaux (x + ζⁱ
_p y) et l'idéal (z) élevé à la puissance p. On peut montrer que les idéaux (x + ζⁱ
_p y) sont premiers entre eux ; la théorie de la décomposition des idéaux premiers et celle des anneaux de Dedekind permettent d'assurer que chacun est la puissance p-ième d'un certain autre idéal A_i ; l'idéal A^p
_i est principal, l'hypothèse que le nombre p est régulier — il n'est pas diviseur du nombre de classes de ℚ(ζ_p) — montre alors que l'idéal A_i lui-même est principal, ce qui fournit une égalité de la forme x + ζⁱ
_p y = εα^p, pour une certaine unité ε. Quelques calculs permettent d'aboutir à une contradiction.

Notes et références

(en) Lawrence C. Washington, Introduction to cyclotomic fields, 1997 [détail de l’édition] (lire en ligne), notes du chapitre 1.
2 n'est donc ni régulier, ni irrégulier.
Washington 1997, p. 84.
En dépit du titre de l'article de Kummer.

Articles connexes

Arithmétique et théorie des nombres

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[1] (en) Lawrence C. Washington, Introduction to cyclotomic fields, 1997 [détail de l’édition] (lire en ligne), notes du chapitre 1.

[2] 2 n'est donc ni régulier, ni irrégulier.

[3] Washington 1997, p. 84.

[4] En dépit du titre de l'article de Kummer.