G-espérance
En théorie des probabilités, la g-espérance est une espérance non-linéaire définie à partir d'une équation différentielle stochastique rétrograde (EDSR) introduite par Shige Peng[1].
Définition
Soit un espace probabilisé avec un processus de Wiener en dimension d (sur cet espace). Soit la filtration générée par , i.e. , et soit une variable aléatoire mesurable. Considérons l'EDSR donnée par:
Alors la g-espérance pour est donnée par . Notons que si est un vecteur de dimension m, alors (pour tout temps ) est un vecteur de dimension m et est une matrice de taille .
En fait l'espérance conditionnelle est donnée par et similairement à la définition formelle pour l'espérance conditionnelle il vient pour tout (où la fonction est la fonction indicatrice)[1].
Existence et unicité
Soit satisfaisant:
- est un -processus adapté pour tout
- l'espace L2 (où est une norme dans )
- est une application lipschitzienne en , i.e. pour tout et il vient pour une constante
Alors pour toute variable aléatoire il existe une unique paire de processus -adaptés qui vérifient l'équation différentielle stochastique rétrograde[2].
En particulier, si vérifie également:
- est continue en temps ()
- pour tout
alors pour la condition terminale il suit que les processus solution sont de carré intégrable. Ainsi est de carré intégrable pour tout temps [3].
Voir aussi
Références
- Philippe Briand, François Coquet, Ying Hu, Jean Mémin et Shige Peng, « A Converse Comparison Theorem for BSDEs and Related Properties of g-Expectation », Electronic Communications in Probability, vol. 5, no 13, , p. 101–117 (DOI 10.1214/ecp.v5-1025, lire en ligne [PDF], consulté le )
- S. Peng, Stochastic Methods in Finance, vol. 1856, coll. « Lecture Notes in Mathematics », , 165–138 p. (ISBN 978-3-540-22953-7, DOI 10.1007/978-3-540-44644-6_4, lire en ligne [archive du ] [PDF]), « Nonlinear Expectations, Nonlinear Evaluations and Risk Measures »
- Z. Chen, T. Chen et M. Davison, « Choquet expectation and Peng's g -expectation », The Annals of Probability, vol. 33, no 3, , p. 1179 (DOI 10.1214/009117904000001053, arXiv math/0506598)
- Portail des probabilités et de la statistique