Taux de cisaillement

Écoulement d’un fluide en régime laminaire, en cisaillement plan[4] : déformations et vitesses à des couches différentes (gradient de vitesse ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$ (h)).

On considère une veine fluide s’écoulant de façon laminaire (écoulement de Couette : la répartition des vitesses dans la veine suit une loi linéaire) entre deux plateaux parallèles, dont l’un se déplace à une vitesse constante et l’autre est stationnaire. Il est possible de faire une analogie avec les cartes d’un jeu lorsque l’on pousse la carte supérieure[5]. Pour un mouvement laminaire plan, on a les relations suivantes

${\displaystyle \gamma ={\frac {u}{h}}}$

${\displaystyle v_{\text{max}}={\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}}$

${\displaystyle {\dot {\gamma }}={\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {u}{h}}\right)={\frac {1}{h}}\cdot {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}={\frac {v_{\text{max}}}{h}}}$

${\displaystyle \tau ={\frac {F_{\text{tan}}}{A}}}$

avec :

${\displaystyle \gamma }$ = déformation relative du fluide au bout d’un temps dt, grandeur adimensionnelle ;

${\displaystyle u}$ = déplacement du fluide, en m ;

${\displaystyle h}$ = hauteur de la zone cisaillée (entrefer), en m ;

${\displaystyle v_{\text{max}}}$ = vitesse du plateau mobile, en m s⁻¹ ;

${\displaystyle t}$ = temps ;

${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$ = vitesse de déformation (définie comme la déformation par unité de temps), en s⁻¹ ;

${\displaystyle \tau }$ = contrainte de cisaillement, tangentielle à la surface A, en Pa ;

${\displaystyle F_{\text{tan}}}$ = force tangentielle à la surface A, en N ;

${\displaystyle A}$ = surface de la couche de fluide plane, en m².

La relation ${\displaystyle {\dot {\gamma }}={\frac {v_{\text{max}}}{h}}}$ montre que :

• plus l’entrefer augmente, plus le gradient de vitesse diminue ;
• plus la vitesse augmente, plus le gradient de vitesse augmente.

Le gradient de vitesse dans le fluide est constant (= ${\displaystyle {\frac {v_{\text{max}}}{h}}}$)[6] et perpendiculaire à la vitesse

${\displaystyle {\frac {\partial V_{x}}{\partial y}}={\dot {\gamma }}}$

avec x = direction de cisaillement et

${\displaystyle {\frac {\partial V_{x}}{\partial x}}={\frac {\partial V_{x}}{\partial z}}=0.}$

Trois géométries courantes de rhéomètres : cylindres coaxiaux, plateaux parallèles et cône-plan.

• Cylindres coaxiaux de type Searle : la vitesse de cisaillement ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$ est proportionnelle à la vitesse angulaire de rotation ${\displaystyle \Omega (t)}$ du cylindre central. L’entrefer est large (1 à 1,5 mm) pour les liquides à « particules » ou chargés, ce qui a pour conséquence des cisaillements faibles.
• Plateaux parallèles : le gradient de vitesse est nul au centre, maximum à la périphérie (la vitesse tangentielle augmente linéairement avec la distance à l’axe de rotation) : le (taux de) cisaillement n’est pas constant dans le volume de mesure (entrefer). L’entrefer est modifiable (0,2 à 3 mm) en fonction de l’échantillon et du cisaillement choisi.
• Cône-plan : le cisaillement est presque constant dans l’entrefer (sauf au niveau de la troncature) si l’angle du cône (schéma) est très faible (0,5 ≤ ${\displaystyle \theta }$ ≤ 4°) et si le sommet du cône coïncide avec le plan inférieur. Le gradient de vitesse augmente quand ${\displaystyle \theta }$ diminue

${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)={\frac {\Omega (t)}{\theta }}}$.

L’entrefer est faible, fixe et dépend de ${\displaystyle \theta }$. L’entrefer est faible près de la troncature : cette géométrie n’est pas adaptée aux fluides dont le diamètre moyen des « particules » ou des charges est élevé. Les rhéomètres cône-plan sont habituellement utilisés pour des mesures en viscosimétrie car ils donnent une viscosité absolue. Celle-ci peut être mesurée rapidement à partir d’un faible volume d’échantillon (environ 1 ml).

Il existe d’autres types de géométrie : capillaire, Mooney-Ewart, à double entrefer, etc.

La viscosité dynamique, ${\displaystyle \mu }$, d’un fluide newtonien est donnée par l’équation

${\displaystyle \mu (T,p)={\frac {\tau }{\dot {\gamma }}}={\frac {F_{\text{tan}}\cdot h}{A\cdot v_{\text{max}}}}}$,

la viscosité dépendant par définition de la température[7] et de la pression ; elle dépend de la composition chimique de l’échantillon si celui-ci n’est pas un corps pur.

La viscosité des fluides non newtoniens dépend en plus de la nature physico-chimique de l’échantillon, du taux de cisaillement (on parle de viscosité apparente, mesurée à un taux de cisaillement donné) et éventuellement du temps et de l’histoire de l’écoulement.

Dans la limite des faibles gradients de vitesse (ou des faibles fréquences de sollicitation si mesure en oscillation), la viscosité équivaut à la viscosité en écoulement continu ${\displaystyle \mu _{0}}$ (1^er plateau newtonien).

Il existe deux types de fluides non newtoniens dont la viscosité apparente dépend du temps, si soumis à un gradient de vitesse (ou à une contrainte de cisaillement) constant(e) :

• thixotropes, lorsque la viscosité diminue avec le temps, puis, au repos, augmente ;
• antithixotropes (cas rare), lorsque la viscosité augmente avec le temps, puis, au repos, diminue.

La viscosité correspond à la force de friction entre chaque couche du fluide soumis à une contrainte tangentielle.

Elle est mesurée en pascals secondes (Pa s) dans le système SI ; en pratique, exprimée en poises (symbole P ou Po) dans le système CGS ou en centipoises (cP), avec la correspondance : 1 mPa s = 1 cP.

Les viscosimètres à vitesse de rotation imposée sont les plus fréquents. Pour illustrer ce cas, on considère un viscosimètre à rotation simple. Cet appareil impose, au moyen d’un moteur synchrone de précision, un mouvement de rotation à un mobile immergé dans un fluide et mesure l’effort nécessaire à surmonter la résistance offerte à cette rotation. Ce couple résistant est mesuré par l’intermédiaire d’un ressort spiral en alliage de cuivre et de béryllium. Le degré de compression du ressort est proportionnel à la viscosité du fluide.

La géométrie des systèmes de mesure relie proportionnellement les grandeurs physiques d’appareillage (tel que rhéomètre, viscosimètre, viscoanalyseur, dynamomètre) aux grandeurs rhéologiques intrinsèques (viscosités, modules).

Dans le cas considéré, pour un système de mesure (viscosimètre plus mobile) et une vitesse de rotation donnés, la viscosité du liquide est égale au pourcentage de l’échelle de torsion multiplié par un facteur. Un exemple de tableau de valeurs relatif à un système de mesure[8] est donné ci-dessous :

Exemple : une mesure est effectuée à 6 tr/min (taux de cisaillement imposé, non déterminé), la lecture sur l’échelle graduée de 0 à 100 du viscosimètre indique 75 ; la viscosité Brookfield[9] mesurée dans certaines conditions[10], est donc égale à 750 cP.

Il est possible d’étalonner un viscosimètre avec des étalons de viscosité (huiles silicone, thermostables). Ils couvrent une large plage de viscosité afin d’être adaptés à tous les modèles de viscosimètres.

Pour un fluide de viscosité donnée, la résistance à la rotation sera d’autant plus élevée que la taille du mobile (surface de contact) ou la vitesse de rotation (reliée proportionnellement au gradient de vitesse) augmenteront. Il en découle :

• la gamme de viscosité minimale s’obtient en utilisant le mobile et la vitesse les plus grands ;
• la gamme de viscosité maximale nécessite l’emploi du plus petit mobile à la vitesse la plus faible. Pour n’importe quelle combinaison mobile/vitesse, la viscosité maximale mesurable est égale au facteur × 100 (valeur pleine échelle), dans le cas d’un viscosimètre à cadran (affichage analogique).

Les mesures réalisées en utilisant le même mobile à différentes vitesses permettent d’apprécier les propriétés et le comportement rhéologiques de l’échantillon (fluide newtonien, rhéofluidification, etc.).