Graphe de Sousselier

Le nombre de graphes hypohamiltoniens est connu jusqu'à l'ordre 16 et est donné par la suite A141150 de l'OEIS. Il en existe 4 d'ordre 16 dont le graphe de Sousselier et le second graphe de la séquence de Lindgren dont il est dérivé.

Le diamètre du graphe de Sousselier, l'excentricité maximale de ses sommets, est 3, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 2 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 5. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes.

Le nombre chromatique du graphe de Sousselier est 3. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 3 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

L'indice chromatique du graphe de Sousselier est 5. Il existe donc une 5-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Il est possible de compter les colorations distinctes du graphe de Sousselier. Cela donne une fonction dépendant du nombre de couleurs autorisé. C'est une fonction polynomiale et le polynôme qui lui est associé est qualifiée de polynôme chromatique. Ce polynôme de degré 16 admet pour racines tous les entiers positifs ou nuls strictement inférieurs à 3. Il est égal à : ${\displaystyle (x-2)(x-1)x(x^{13}-24x^{12}+277x^{11}-2046x^{10}+10835x^{9}-43579x^{8}+137265x^{7}-343323x^{6}+682357x^{5}-1064315x^{4}+1265320x^{3}-1084150x^{2}+598789x-160585)}$.

Le groupe d'automorphismes du graphe de Sousselier est un groupe abélien d'ordre 2 : le groupe cyclique Z/2Z.

Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence du graphe de Sousselier est : ${\displaystyle (x^{2}-3)(x^{5}+2x^{4}-5x^{3}-6x^{2}+8x-1)(x^{9}-2x^{8}-15x^{7}+26x^{6}+65x^{5}-119x^{4}-63x^{3}+182x^{2}-84x+11)}$.