Groupe de Baumslag-Solitar

Les groupes de Baumslag-Solitar BS(m, n) sont définis, pour toute paire ${\displaystyle m,n}$ d'entiers relatifs, par la présentation

${\displaystyle {\text{BS}}(m,n)=\left\langle a,b\mid a^{-1}b^{m}a=b^{n}\right\rangle }$.

où la notation signifie que le groupe est le quotient du groupe libre engendré par les générateurs a et b par le sous-groupe distingué engendré par ${\displaystyle a^{-1}b^{m}ab^{-n}}$.

Divers groupes BS(m, n) sont bien connus. Ainsi BS(1, 1) est le groupe abélien libre sur deux generateurs, et BS(1, −1) est le groupe fondamental de la bouteille de Klein.

Les groupes ont été définis par Gilbert Baumslag et Donald Solitar en 1962[1] en vue de fournir des exemples de groupes non hopfiens. Ils comprennent des groupes résiduellement finis, des groupes hopfiens qui ne sont pas résiduellement finis, et des groupes non hopfiens.

• ${\displaystyle {\text{BS}}(m,n)}$ est résiduellement fini si et seulement si ${\displaystyle |m|=|n|}$ ou ${\displaystyle |m|=1}$ ou ${\displaystyle |n|=1}$[2].

• ${\displaystyle {\text{BS}}(m,n)}$ est hopfien si et seulement s’il est résiduellement fini ou si ${\displaystyle m}$ et ${\displaystyle n}$ ont même ensemble de diviseurs premiers. Il est relativement simple de prouver qu’un groupe finiment engendré et résiduellement fini est hopfien.

Le plus connu des groupes est ${\displaystyle {\text{BS}}(2,3)=\left\langle a,b\mid a^{-1}b^{2}a=b^{3}\right\rangle }$. Il n'est pas hopfien ; l’application ${\displaystyle a\to a,b\to b^{2}}$est en effet un épimorphisme qui n’est pas un isomorphisme. Il est en effet facile de vérifier que ${\displaystyle (b^{-1}a^{-1}ba)(b^{-1}a^{-1}ba)b^{-1}}$est dans le noyau du morphisme puisque son image est ${\displaystyle (b^{-2}a^{-1}b^{2}a)^{2}b^{-2}=(b^{-2}b^{3})^{2}b^{-2}=1}$.

Les groupes de Baumslag-Solitar se répartissent en trois familles : ceux qui sont résiduellement finis, ceux qui sont hopfiens sans être résiduellement finis et ceux qui ne sont pas hopfiens. La différence est plus marquée en fonction des paramètres : ceux pour lesquels ${\displaystyle |m|=1}$ ou ${\displaystyle |n|=1}$ d'une part, et ceux pour lesquels ${\displaystyle |m|,|n|\neq 1}$ d'autre part.

Pour un groupe

${\displaystyle {\text{BS}}(1,n)=\left\langle a,b\mid a^{-1}ba=b^{n}\right\rangle }$

il y a un homomorphisme évident sur le groupe cyclique infini en posant ${\displaystyle b=1}$, et on peut montrer que son noyau est isomorphe au groupe additif des nombres rationnels ${\displaystyle n}$-adiques. Ainsi, ces groupes sont métabéliens et ont des propriétés de structure fortes ; en particulier, ils n’ont pas de sous-groupe libre de rang 2. De plus, les éléments de ces groupes possèdent des formes normales particulièrement simples : tout élément est représenté de manière unique sous la forme ${\displaystyle a^{i}b^{k}a^{-j}}$, avec ${\displaystyle i,j\geq 0}$ et si de plus ${\displaystyle i,j>0}$, alors ${\displaystyle k}$ n’est pas divisible par ${\displaystyle n}$. Quand ${\displaystyle |m|,|n|\neq 1}$, il existe toujours une forme normale parce que les groupes de Baumslag-Solitar sont des exemples, et de fait les exemples les plus simples, d’extensions HNN. Il en résulte la propriété suivante :

Soit ${\displaystyle w}$ un mot librement réduit de ${\displaystyle {\text{BS}}(m,n)}$ qui représente l’élément unité. Alors ${\displaystyle w}$ a un facteur de la forme ${\displaystyle a^{-1}b^{k}a}$ avec ${\displaystyle m|k}$, ou ${\displaystyle ab^{k}a^{-1}}$ avec ${\displaystyle n|k}$.

Ceci démontre que, dans ${\displaystyle {\text{BS}}(2,3)}$, le mot

${\displaystyle b^{-1}a^{-1}bab^{-1}a^{-1}bab^{-1}}$

ne représente pas l’unité, et peut aussi servir à montrer que, lorsque ${\displaystyle |m|,|n|\neq 1}$, alors ${\displaystyle {\text{BS}}(m,n)}$ contient un sous-groupe libre de rang deux.

• Michaël Cadilhac, Dmitry Chistikov et Georg Zetzsche, « Rational Subsets of Baumslag-Solitar Groups », dans Artur Czumaj Anuj Dawar Emanuela Merelli (éditeurs), Actes de ICALP 2020, Schloss Dagstuhl - Leibniz-Zentrum für Informatik, coll. « LIPIcs » (n^o 168), 2020 (DOI 10.4230/LIPIcs.ICALP.2020.116, arXiv 2006.11898 (version détaillée), lire en ligne), p. 116:1-116:16
• Margot Bouette, Sur la croissance des automorphismes des groupes de Baumslag-Soliltar, Thèse, université de Rennes I, 2016 (lire en ligne).
• (en) Donald J. Collins, « Baumslag–Solitar group », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)

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