Groupe hopfien

En mathématiques, un groupe hopfien ou groupe de Hopf est un groupe pour lequel tout épimorphisme est un isomorphisme. Le groupe des nombres rationnels est hopfien, le groupe des nombres réels ne l’est pas. Les groupes de Hopf sont nommés d'après le mathématicien Heinz Hopf.

Formulations équivalentes

Un groupe est hopfien si et seulement s'il n'est pas isomorphe à l'un de ses sous-groupes quotients propres. Par ailleurs, un groupe est dit co-hopfien (en) si tout monomorphisme est un isomorphisme.

Exemples de groupes hopfiens

Exemples de groupes non hopfiens

Indécidabilité

En 1969, Donald J. Collins[2] a démontré qu'il est indécidable si un groupe, donné par une présentation finie, est hopfien. Contrairement à l'indécidabilité de beaucoup d'autres propriétés des groupes, ceci n’est pas une conséquence du théorème de Adian-Rabin (en); en effet, la propriété d'être hopfien n'est pas une propriété de Markov, comme démontré par Miller et Paul Schupp[3]

Notes et références

Notes

  1. Julie Déserti, « Le groupe de Cremona est hopfien », Comptes Rendus Mathematique, vol. 344, no 3, , p. 153–156 (ISSN 1631-073X, DOI 10.1016/j.crma.2006.12.005).
  2. Collins 1969
  3. Miller et Schupp 1971

Références

Liens externes

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