Groupe dicyclique

En algèbre et plus précisément en théorie des groupes, le groupe dicyclique (pour tout entier n ≥ 2) est défini par la présentation[1]

Les groupes () sont les groupes quaternioniques (les groupes dicycliques nilpotents). En particulier, est le groupe des quaternions.

est un groupe non abélien d'ordre 4n, extension par le sous-groupe cyclique engendré par (normal et d'ordre 2n) d'un groupe d'ordre 2. Il est donc résoluble.

Contrairement au groupe diédral D4n, cette extension n'est pas un produit semi-direct.

Cependant, si n est impair, est le produit semi-direct du sous-groupe normal (d'ordre n) par (d'ordre 4).

est aussi une extension par son centre (le sous-groupe d'ordre 2 engendré par ) du groupe D2n. Cette extension est, elle aussi, non scindée.

Références

  1. (en) H. S. M. Coxeter et W. O. J. Moser (de), Generators and Relations for Discrete Groups, Springer-Verlag, , 4e éd. (lire en ligne), p. 7.

Voir aussi

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