Hyperprisme

Un hyperprisme de dimension n est la généralisation d'un prisme aux dimensions supérieures à trois.

Relier deux dodécaèdres égaux situés dans des espaces différents forme un hyperprisme dodécaédrique.

Définition et construction

Pour construire un hyperprisme, il faut translater un polytope de dimension n-1 le long d'un vecteur (qui n'appartient généralement pas à l'hyperplan contenant le n-1 polytope) : l'hyperprisme est alors l'ensemble des positions prises par le polytope durant son déplacement.

Un n hyperprisme est constitué de deux n-1 polytopes identiques, reliés face par face par des n-1 hyperprismes.

Le symbole de Schläfli d'un hyperprisme formé à partir d'un polytope de symbole {p, q, r,..., z} est le produit cartésien de ce symbole-ci et de celui d'un segment de symbole {} : {p, q, r, ..., z}x{}.

Cas particuliers

Si le vecteur est normal à l'hyperplan de départ, l'hyperprisme est dit « droit ».

De la même façon qu'un cylindre peut être considéré comme un prisme à base circulaire (ou, plus largement, à base bidimentionnelle courbe), un hypercylindre peut être considéré comme hyperprisme à base sphérique (ou, plus largement, à base multidimentionnelle courbe).

Par abus, un hyperprisme inscriptible dans une hypersphère est parfois dit « régulier ».

Les hyperprismes à faces régulières font partie des polytopes uniformes.

Exemples

Le tableau ci-dessous présente une liste non exhaustive d'hyperprismes jusqu'à la dimension 4.

Liste des premiers hyperprismes
Dimensions 1 2 3 4
Nom segment parallélogramme (ou rectangle s'il est droit) prisme (droit ou non) hyperprisme de dimension 4 (droit ou non)
Définition Point translaté Segment translaté Polygone translaté Polyèdre translaté
Exemples segment parallélogramme, rectangle, carré, losange... prisme à base polygonale, parallélépipède rectangle, cube, rhomboèdre, cylindre... hypercube, parallélotope, cylindre sphérique, cylindre cubique...
Images

Hypervolume

L'hypervolume d'un hyperprisme vaut toujours :

(où est le volume du polytope translaté et la hauteur)

Annexes

Articles connexes

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