Identité d'Euler

Puisque cos π = –1 et sin π = 0, cette formule est le cas particulier x = π de la formule d'Euler en analyse complexe (pour tout nombre réel x, e^ix = cos x + i sin x).

C'est aussi le cas particulier n = 2 de la nullité de la somme des racines n-ièmes de l'unité.

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  Juxtaposition de 8 triangles rectangles
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  Juxtaposition de 16 triangles rectangles
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  Illustration du résultat

L'interprétation géométrique qui fournit une piste de démonstration par une suite est basée sur la juxtaposition de triangles rectangles.

${\displaystyle \forall z\,\in \mathbb {C} \quad \mathrm {e} ^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\dfrac {z}{n}}\right)^{n}}$

or, les multiplications complexes se traduisant par des rotations, le point de coordonnées ${\displaystyle \left(1+{\dfrac {\mathrm {i} \pi }{N}}\right)^{N}}$ est obtenu en juxtaposant N triangles rectangles[2].

Paul Nahin, professeur émérite de l'université du New Hampshire, écrit dans son ouvrage consacré à l'identité d'Euler et ses applications en analyse de Fourier que la formule définit « l'étalon-or de la beauté mathématique »[5].

Quand l'identité d'Euler fut révélée à Benjamin Peirce, il déclara : « Messieurs, c’est certainement vrai, c’est absolument paradoxal ; on ne peut pas la comprendre, et on ne sait pas ce qu'elle signifie, mais nous l'avons prouvée, et dès lors, nous savons qu'elle doit être la vérité. »[6].

Le célèbre physicien Richard Feynman la considère même comme « la formule la plus remarquable des mathématiques[7] ».

L'identité d'Euler apparaît également dans le roman La Formule préférée du professeur de Yōko Ogawa.