Inégalité de Sundman

L'inégalité de Sundman (1912) concerne le Problème à N corps en mécanique céleste :

$\ T>{\frac {L^{2}+J^{2}}{2I}}$

Avec le théorème du viriel :

${\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=4T-2V$ , [notations ci-dessous]

elle constitue une des clefs d'entrée dans l'étude du destin du problème à 3 corps.

Notations

Le mass scalar product est utilisé : $x=({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},\cdot \cdot \cdot ,{\vec {r}}_{N})$

x'\cdot x''=\sum _{i=1}^{3}{m_{i}<{\vec {r}}'_{i},{\vec {r}}''_{i}>}

Le barycentre G sera l'origine des coordonnées, choisie immobile (grâce à l'invariance galiléenne). Sinon, précision sera donnée. De préférence les masses sont ordonnées par valeur décroissante.

$I=x\cdot x$ est le moment d'inertie par rapport à G.

La moitié de sa dérivée temporelle ${\dot {I}}/2==J=x\cdot {\dot {x}}$

Le théorème du viriel est : ${\dot {J}}=2T+V=2H_{o}-V$

où $2T={\dot {x}}\cdot {\dot {x}}$ est 2.E(cinétique) toujours positive ; et $\ V(x)$ , l'énergie gravitationnelle des N points, toujours négative.

Bien sûr, le Lagrangien est T- V.

L'Hamiltonien T+V = H(x, y)= Ho constante ({y} est l'ensemble des quantités de mouvement)

Le moment cinétique orbital total est : ${\vec {L}}=\sum _{i=1}^{3}{m_{i}{\vec {r}}_{i}\wedge {\frac {d{\vec {r}}_{i}}{dt}}}$ = cste (isotropie d'espace)

L'inégalité $L^{2}<\sum _{i=1}^{3}{{\vec {L}}_{i}}^{2}<2I\cdot T$ conduit à :

$\ T>L^{2}/2I$ , le deuxième membre s'appelle la barrière centrifuge (Leibniz 1689).

L'inégalité de Sundman

Sundman a performé l'inégalité de Leibniz :

$\ T>L^{2}/2I+J^{2}/2I$

On intuite pourquoi J intervient : si par homothétie la configuration se dilate (resp, se contracte), il y a bien énergie cinétique. Le terme manquant qui crée l'inégalité est au fond la « déformation de la configuration » (par exemple dans le cas de 3 corps, la déformation du triangle, en particulier quand un alignement se produit).

Utilisation dans le cas du problème à 3 corps plan

On peut utiliser la notation ABC pour le triangle, et les formules usuelles des distances mutuelles ; on pose D = max(a, b, c) et d = min(a, b, c).

On déclare P(x) == (x-m1)(x-m2)(x-m3) == x^3- M.x^2+ P.x -M3^3

Il s'ensuit que : $I.M=[a^{2}/m_{1}+b^{2}/m_{2}+c^{2}/m_{3}]\cdot M_{3}^{3}$

Donc $I<[{\frac {P}{M}}]D^{2}$

et $I>[{\frac {m_{3}^{2}}{M}}]d^{2}$ .

Soit :

$A\cdot {\sqrt {I}}<d<D<B\cdot {\sqrt {I}}$

Un raisonnement similaire avec l'énergie potentielle donne : ${\frac {C}{-V}}<d<D<{\frac {D}{-V}}$

Et par conséquent $\ I\cdot V^{2}$ jouera vraisemblablement un rôle important dans l'analyse de la situation.

Théorème de Jacobi

Pour un système stable (les cercles périgée inf d(t) et apogée sup D(t) existent), Eo est négative. Démonstration : I" =4T + 2 V ⇒ viriel 2<T>=-<V> = -Eo/2 >0

et si Eo>0, le système est ouvert : D→infty : en effet I" >0. Démonstration : on utilise la fonction de Sundman (voir plus loin)

Attention : si Eo<0, cela n'implique pas que le système soit stable ! En effet, deux étoiles peuvent indéfiniment se rapprocher, et la troisième partir à l'infini doucement.

Théorème de Weierstrass (généralisé par Sundman)

Il n'y a de collision triple stricte que si L = 0. Démonstration : pour avoir I(t0) =0, V(t0)= -infty, donc d'après le viriel I"(t) >0 près de to, donc I(t) décroit de manière monotone I'(t)<0 : alors l'inégalité de Sundman donne 2L^2 Ln[I(t1)/I(t)] < cste ; donc I(t) reste borné sauf si L=0

Fonction de Sundman

On introduit par généralisation du problème à 2 corps les notations :

$\ a==-GP/2E_{0}$ , appelé demi-grand axe, constant.

$\ p==ML^{2}/GP$ , appelé paramètre, constant.

$\ R=={\sqrt {MI/P}}$ , en gros la taille, variable.

$\ r==-GP/V$ , environ la petite taille, variable.

avec les inégalités usuelles de convexité :

$\ 0<d<r<R<D$ (soit $\ IV^{2}>G^{2}P^{3}/2M$ )

$|BC|<R\cdot {\sqrt {P/M\cdot {\frac {m_{2}+m_{3}}{m_{2}m_{3}}}}}$

Le viriel devient : ${\ddot {R^{2}}}/2R=={\ddot {R}}+({\dot {R}})^{2}/R=(GM/R)(1/r-1/a)$

La fonction de Sundman S(t) est :

$2S(t)=R/a+p/R+{\dot {R}}^{2}/(GM/R)$

L'inégalité de Sundman devient : $\ R/r-S(t)>0$ ⇒

${\dot {S}}(t)={\frac {dLnR}{dt}}\cdot [R/r-S(t)]$ ,

donc R varie comme S(t).

conséquences

L'inégalité triangulaire s'écrit : $\ t==2R/r-R/a-p/R>0$

d'où $R/r>{\sqrt {p/a}}$ , soit

$\ V^{2}-(L^{2}/2I)(-E_{o})>0$

D'autre part on en déduit $\ r<2a$ , ce qui semble naturel, mais fait intervenir la décomposition d'Eckart des vitesses :

${\dot {\vec {r_{i}}}}={\vec {L_{o}}}/I\wedge {\vec {r_{i}}}+\lambda {\vec {r_{i}}}$

avec $\lambda ^{2}==GM/R^{2}\cdot [t/R]$ ,

donc en fait, ce n'est pas si simple à démontrer (les chimistes appellent ce référentiel tournant le référentiel d'Eckart ; en astronomie c'est le SAM de Saari).

le cas intéressant est celui dit de la binaire de Hill : si p>> a, le système tourne très vite à |énergie| faible, alors le système restera toujours une binaire serrée autour de laquelle tourne la troisième étoile (qui peut ou non s'échapper).

L'habitude veut que l'on représente les iso (R/r) qui ressemblent vaguement à la surface de Hill du problème restreint(m3<< m1 et m2), dans le référentiel où AB est pris comme axe des x, et C joue le rôle de troisième étoile ; mais cette représentation est un peu fallacieuse, car elle ne met pas en exergue le rôle symétrique des trois masses.

Références

Sundman K.F., Mémoire sur le problème des trois corps, Acta mathematica36, 105-179 (1912)
scholarpedia : Three_Body_Problem

Marchal : the three body problem, Elsevier1990, (ISBN 0-444-87440-2)
Saari : CMBS 104, AMS 2005, (ISBN 0-8218-3250-6)
AKN : Celestial mechanics, Springer 1997, (ISBN 3-540-61224-6)

Voir aussi

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