Perturbation du mouvement képlérien

On appelle problème restreint le problème plan, où Soleil et Terre ont un mouvement képlérien circulaire, et où la Lune est considérée comme une masse négligeable. Dans ce cas, dans le référentiel tournant, R', où la ligne Soleil_G_Terre est immobile, le problème est ramené au mouvement dans le potentiel de Jacobi, à condition de rajouter la force de Coriolis.

La figure du potentiel de Jacobi est très facile à tracer, comme voici :

dans le problème à deux corps, le potentiel effectif de Leibniz (1689) est :

• le trou d'énergie potentielle du centre -m.Gm1/r et
• L1^2/2mr^2 [avec L moment cinétique orbital] représentant la barrière centrifuge qui empêche de tomber en deçà du cercle péricentrique. De ce fait, l'énergie étant conservée, le satellite ne peut s'éloigner au-delà d'un cercle apocentrique [Le théorème de Bertrand, spécial au cas newtonien, entraîne la fermeture de l'orbite par dégénérescence entre la période des oscillations radiales et la période des oscillations angulaires].

Il y a une autre manière de noter "formellement" ce potentiel :

énergie-effective : -m m1[ a/r + r^2/2a^2] , maximum en r = a

Le potentiel de Jacobi est simplement la somme bicentrique des 2 énergies, l'une par rapport au Soleil (de masse m1) et l'autre par rapport au deuxième corps, la Terre, de masse m2, pour une distance ST = a :

${\displaystyle (m_{1}+m_{2})\cdot E_{jacobi}(r_{1},r_{2}):=M\cdot J(r_{1},r_{2})}$ et

${\displaystyle M\cdot J==-m_{1}\cdot ({\frac {a}{r_{1}}}+{\frac {r_{1}^{2}}{2a^{2}}})-m_{2}\cdot ({\frac {a}{r_{2}}}+{\frac {r_{2}^{2}}{2a^{2}}})}$

La symétrie de rôle de m1 et m2 devient apparente : le problème est donc assez facile à comprendre en coordonnée bicentriques : SM = r1 et EM= r2.

La représentation de la figure (en Scilab, cf par exemple Murray-Dermott, p. 81) met immédiatement en évidence 5 points :

• les trois points d'équilibre alignés d'Euler (1769) : L1 entre Soleil et Terre, près de la Terre, puis L2 quasi symétrique de L1 (: EL1 = EL2), et L3 (quasiment SL3 = ST = a),
• les célèbres points de Lagrange (1773), forcément à la distance exacte r1=r2=a (symétrie de rôle dans l'expression du potentiel de Jacobi), soit L4 en avant et L5 en arrière du mouvement.

Les points d'Euler ne sont pas stables.

Ceux de Lagrange sont LINEAIREMENT stables si ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}<27\sigma _{2}}$ ([3])

Les points L1 et L2 ont été largement étudiés pour des placements de satellites en orbite (Halo-orbite de Michalodimitrakis (1958), étude reprise par Simo, etc.). Les points L4 et L5 pour d'autres types de satellites.

m2/m1 << 1 : exemple Lune-Terre : 0.0123 ; Jupiter-Soleil : 0.001 ; Terre-Soleil : 0.000 003

La surface de Jacobi devient de "pseudo-révolution" autour du Soleil. On peut calculer les cotes de Jacobi des points (L1, L2), (L3, L4) :

• ${\displaystyle \ 2J(L_{1})=(9m_{2}/M)^{2/3}-10m_{2}/3M}$
• ${\displaystyle \ 2J(L_{2})=(9m_{2}/M)^{2/3}-14m_{2}/3M}$
• ${\displaystyle \ 2J(L_{3})=m_{2}/M}$
• ${\displaystyle \ 2J(L_{4})=-m_{2}/M}$.

Hill a considéré le cas : m2/M négligeable devant (m2/M)^(2/3) (environ 1/100 dans le cas Terre-Soleil).

Alors le problème se simplifie encore. De ce fait, il est souvent donné à étudier, car simple mais non simpliste.

On prend en général le système "cartésien" d'origine E d'axe Ey vers L2 et Ex perpendiculaire. La colline de Jacobi devient symétrique par rapport à y'Ey (ce qui était déjà vrai), mais aussi par rapport à x'Ex, et présente un trou-puits infini en E, dont la "séparatrice" est pour le dire vite deux chaînettes symétriques s'entrecroisant en L1 et L2 ; mais attention les courbes de niveau auront des "cornes" en L1 et L2. ET ATTENTION : l'espace est "polarisé" par la force de Coriolis, les trajectoires seront déviées à droite. ET le système d'équations présente un scaling en (m2/M)^(1/3) (help for interprétation !) : il n'y a aucun paramètre libre !

Le problème de Hill est donc fascinant par sa simplicité apparente : une simple colline symétrique à faîte rectiligne et puis un trou très profond en E (origine) ; plus l'effet "dahu" provoqué par la force de Coriolis.

• 1/.Si M (Lune) a une énergie inférieure à L1, elle est piégée dans l'équipotentielle singulière passant par L1 et L2 et ne pourra pas s'échapper de ce lobe de Hill (rappelons TL1 = a .(m2/3M)^(1/3) ).

MAIS sa trajectoire ne sera pas simple pour autant! Dans ce type de situation, la bonne idée est de prendre des coordonnées de Jacobi : Terre E comme origine, EM = ${\displaystyle {\vec {r}}}$ , G barycentre Terre-Lune, et GS = ${\displaystyle {\vec {R}}}$.

Note d'histoire : le premier à avoir eu cette idée fantastique d'un point G sans signification géométrique est Jeremiah Horrocks (1637 !) : immédiatement, les tables rodolphines furent améliorées. Puis Newton se prit la tête avec le problème de l'influence de la force de marée du Soleil sur le mouvement de la Lune (remarque : on est souvent surpris par le fait que le Soleil attire plus la Lune que la Terre ne le fait ! mais, vu de l'origine Terre, c'est seulement l'influence différentielle, dite de marée, qui intervient).

• 2/.Si M a une énergie supérieure à celle de L1 (nous l'appellerons encore M, mais ce n'est plus la Lune !), la situation devient tout à fait intéressante : le "choc-rebond", M contre Terre, est tout à fait surprenant dans sa diversité :

On pourrait s'imaginer qu'il s'agit d'un simple rebond en épingle à cheveu (un fer à cheval est trop-trop large dans un tel cas) : oui, l'intuition est bonne : la trajectoire (quasi circulaire) venant de droite, le long de x = b >0 reste quasi parallèle à la iso-Jacobi située en b/2 (en gros l'excès de pente de la colline et la force de Coriolis provoquent un "drift d'effet Hall" de vitesse quasi constante et donc M va tourner DEVANT la Terre (et non comme un mouvement képlérien ordinaire autour de la Terre, différence essentielle). Mais cette intuition globalement juste se trouve à rééduquer au voisinage de la séparatrice qui conduit à la "corne" L2 (point singulier de la colline de Jacobi et donc le long de l'arc L2L1 concave vers le trou :la vitesse |dy/dt| va brutalement diminuer (en gros la particule tombe dans le puits), la force de Coriolis va augmenter terriblement et la faire remonter, fouettée, mais le retour sera "hoquetant" en formes d'arches peu ou prou trochoïdales. Acquérir de l'intuition sur un tel exemple est très formateur : il convient de tracer soi-même toutes ces belles (?) trajectoires, puis de les retracer dans le référentiel galiléen (Cela donne un pressentiment de la complexité à venir).

Une trajectoire quasi circulaire par rapport au Soleil peut prendre de l'excentricité : il y a un effet "fronde-déviation" qui dans d'autres circonstances est mis à profit pour des sondes. Cet effet est aussi bien étudié dans la situation des anneau des planètes et des satellite bergers.

Évidemment, il n'existe pas de trajectoire venant de la droite avec x= b négatif : les dahus M ne peuvent pas courir le long de la ligne de niveau, à cause de la force de Coriolis. La dissymétrie de la figure est un exemple particulièrement frappant de l'effet de cette force et souvent cité de ce fait.

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Tout ceci a été décrit dans un cadre purement hamiltonien conservatif. La réalité est parfois différente car des effets de frottement (effet Poynting-Robertson) peuvent se manifester. Et le problème devient plus sévère à étudier.