Interprétation (logique)

Les connecteurs de la logique propositionnelle classique sont interprétés comme suit :

• ¬Φ est Vrai si et seulement si Φ est Faux.
• (Φ ∧ Ψ) est Vrai si et seulement si Φ est Vrai et Ψ est Vrai.
• (Φ ∨ Ψ) est Vrai si et seulement si Φ est Vrai ou Ψ est Vrai (ou les deux).
• (Φ → Ψ) est Vrai si et seulement si Φ est Faux ou Ψ est Vrai (ou les deux).
• (Φ ↔ Ψ) est Vrai si et seulement si (Φ → Ψ) est Vrai et (Ψ → Φ) est Vrai.

Donc, en vertu d'une interprétation donnée de toutes les variables propositionnelles des propositions Φ et Ψ, nous pouvons déterminer les valeurs de vérité de toutes les formules. Le tableau suivant montre à quoi ce genre de chose ressemble. Les deux premières colonnes montrent les valeurs de vérité des lettres. Les autres colonnes montrent les valeurs de vérité des formules construites à partir de ces lettres.

Maintenant, il est plus facile de voir ce qui rend une formule logique valide.

L'interprétation classique de la logique propositionnelle se fait à partir de fonctions (les valuations) qui associent, à chaque symbole propositionnel, l'une des valeurs de vérité vrai ou faux. 

Pour un langage avec n variables propositionnelles distinctes, il y a 2ⁿ valuations classiques possibles distinctes. Pour toute variable a, par exemple, il y a 2¹=2 valuations possibles : 1) a est affecté vrai, ou 2) a est affecté faux. Pour la paire a, b il y a 2²=4 valuations possibles : 1) les deux sont affectés vrai, 2) les deux sont affectés faux, 3) a est affecté vrai et b est affecté faux, ou 4) a est affecté faux et b est affecté vrai.

Une interprétation intuitionniste se fait par les modèles de Kripke.

Pour attribuer un sens à toutes les propositions du langage du premier ordre, les informations suivantes sont nécessaires :

• Un univers du discours D.
• Pour chaque symbole de constante, un élément de D en tant qu'interprétation.
• Pour chaque symbole de fonction n-aire, une fonction n-aire de D à D en tant que son interprétation (qui est une fonction Dⁿ → D).
• Pour chaque symbole de relation n-aire, une relation n-aire sur D en tant que son interprétation (qui est un sous-ensemble de Dⁿ).

Un objet portant cette information est connu comme une structure (de la signature σ, ou la structure-σ, ou comme un "modèle").

Les informations spécifiées dans l'interprétation fournissent suffisamment d'informations pour donner une valeur de vérité à toute formule atomique, après chacune de ses variables libres. La valeur de vérité d'une proposition arbitraire est alors définie par induction à l'aide du schéma-T, qui est une définition des sémantiques du premier ordre développée par Alfred Tarski. Le schéma-T interprète les connecteurs logiques à l'aide d'une table de vérité. Ainsi, par exemple, φ ∧ ψ est satisfait si et seulement si φ et ψ sont satisfaits.

Reste encore la question de savoir comment interpréter les formules de la forme ∀ x φ(x) et ∃ x φ(x). L'idée est que la proposition ∀ x φ(x) est vraie en vertu d'une interprétation lorsque chaque substitution de φ(x), où x est remplacé par un élément du domaine, est satisfaite. La formule ∃ x φ(x) est satisfaite s'il existe au moins un élément d du domaine tel que φ(d) est satisfaite.

Certains auteurs admettent aussi des variables propositionnelles dans la logique du premier ordre, qui doivent alors aussi être interprétées. Une variable propositionnelle peut se 'tenir debout'^[pas clair], comme une formule atomique. L'interprétation d'une variable propositionnelle est l'une des deux valeurs de vérité vrai et faux.

Parce que les interprétations de premier ordre décrites ici sont définies dans la théorie des ensembles, elles n'associent pas chaque symbole de prédicat avec une propriété (ou une relation), mais plutôt avec l'extension de cette propriété (ou relation). En d'autres termes, ces interprétations de premier ordre sont extensionnelles, et non intentionnelles.

Un exemple d'interprétation ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ du langage L décrit ci-dessus est comme suit.

• Domaine : Un jeu d'échecs
• Constantes individuelles : a : Le Roi blanc, b : La Reine noire, c : Le pion du Roi blanc
• F(x) : x est une pièce
• G(x) : x est un pion
• H(x) : x est noir
• I(x) : x est blanc
• J(x, y) : x peut prendre y

• les données suivantes sont vraies : F(a), G(c), H(b), I(a) J(b, c),
• les suivantes sont fausses : J(a, c), G(a).

Comme indiqué plus haut, une interprétation de premier ordre est généralement nécessaire pour spécifier un ensemble non-vide comme univers du discours. La raison de cette exigence est de garantir que les équivalences telles que

${\displaystyle (\phi \lor \exists x\psi )\leftrightarrow \exists x(\phi \lor \psi )}$,

où x n'est pas une variable libre de φ, sont logiquement valides. Cette équivalence tient dans toutes les interprétations avec un univers non-vide, mais ne tient pas toujours lorsque les univers vides sont autorisés. Par exemple, l'équivalence

${\displaystyle [\forall y(y=y)\lor \exists x(x=x)]\equiv \exists x[\forall y(y=y)\lor x=x]}$

échoue dans une structure avec un univers vide. Ainsi, la théorie de la démonstration de la logique du premier ordre devient plus compliquée lorsque les structures vides sont autorisées[1].