Isomorphisme musical

En mathématiques, plus précisément en géométrie différentielle, l'isomorphisme musical (ou isomorphisme canonique ) est un isomorphisme entre le fibré tangent $\mathrm {T} M$ et le fibré cotangent $\mathrm {T} ^{*}M$ d'une variété pseudo-riemannienne induite par son tenseur métrique. Il existe des isomorphismes similaires sur les variétés symplectiques. Le terme musical fait référence à l'utilisation des symboles $\flat$ (plat) et $\sharp$ (tranchant)[1]^,[2].

En notation covariante et contravariante, il est également connu sous le nom d'indice d'élévation et d'abaissement.

Discussion

Soit $(M, g)$ une variété pseudo-riemannienne. Supposons que ${e i}$ soit un repère tangent mobile (voir aussi repère lisse) pour le fibré tangent $T M$ avec, comme repère dual (voir aussi base duale ), le co- repère mobile (un repère tangent mobile pour le fibré cotangent $\mathrm {T} ^{*}M$ . Voir aussi coframe ) ${e i}$ .

Ensuite, localement, nous pouvons exprimer la métrique pseudo-riemannienne (qui est un champ tensoriel $2$ -covariant symétrique et non dégénéré) sous la forme $g = g ij e i \otimes e j$ (où nous employons la convention de sommation d'Einstein).

Étant donné un champ vectoriel $X = X i e i$ , nous définissons son plan :

X^{\flat }:=g_{ij}X^{i}\,\mathbf {e} ^{j}=X_{j}\,\mathbf {e} ^{j}.

C'est ce qu'on appelle « abaisser un indice ». En utilisant la notation traditionnelle entre crochets en losange pour le produit scalaire défini par $g$ , nous obtenons la relation (un peu plus « transparente ») :

X^{\flat }(Y)=\langle X,Y\rangle

pour tous les champs vectoriels $X$ et $Y$ .

De même, étant donné un champ de covecteurs $ω = ω i e i$ , on définit son « dièse » :

\omega ^{\sharp }:=g^{ij}\omega _{i}\mathbf {e} _{j}=\omega ^{j}\mathbf {e} _{j},

où $g ij$ sont les composantes du tenseur métrique inverse (données par les entrées de la matrice inverse de $g ij$ ). Prendre le dièse d'un champ de covecteurs s'appelle " élever un indice ". Dans la notation du produit interne, cela se lit

{\bigl \langle }\omega ^{\sharp },Y{\bigr \rangle }=\omega (Y),

pour tout champ de covecteurs $ω$ et tout champ de vecteurs $Y$ .

Par cette construction, on a deux isomorphismes mutuellement inverses

{\displaystyle \flat

Ce sont des isomorphismes de fibrés vectoriels et, par conséquent, nous avons, pour chaque $p$ dans $M$ , des isomorphismes d'espace vectoriel mutuellement inverses entre $T p M$ et $T (su) M$ <br /> $T (su) M$ .

Extension aux produits tenseurs

Les isomorphismes musicaux peuvent également être étendus aux faisceaux

\bigotimes ^{k}{\rm {T}}M,\qquad \bigotimes ^{k}{\rm {T}}^{*}M.

L'indice qui doit être augmenté ou abaissé doit être indiqué. Par exemple, considérons le (0, 2) -champ tenseur $X = X ij e i \otimes e j$ . En élevant le deuxième indice, nous obtenons le (1, 1) -champ tenseur.

X^{\sharp }=g^{jk}X_{ij}\,{\rm {e}}^{i}\otimes {\rm {e}}_{k}.

Extension aux vecteurs-k et formes-k

Dans le contexte de l'algèbre extérieure, une extension des opérateurs musicaux peut être définie sur $⋀ V$ et son dual $⋀ (su) V$ <br /> $⋀ (su) V$ , qui avec un abus mineur de notation, peut être noté identique, et sont à nouveau des inverses mutuels : [3]

{\displaystyle \flat

Défini par

(X\wedge \ldots \wedge Z)^{\flat }=X^{\flat }\wedge \ldots \wedge Z^{\flat },\qquad (\alpha \wedge \ldots \wedge \gamma )^{\sharp }=\alpha ^{\sharp }\wedge \ldots \wedge \gamma ^{\sharp }.

Dans cette extension, dans laquelle un bémol fait correspondre les p -vecteurs aux p -covecteurs et un dièse fait correspondre les p -covecteurs aux p -vecteurs, tous les indices d'un tenseur totalement antisymétrique sont simultanément élevés ou abaissés, donc aucun indice n'a besoin d'être indiqué :

Y^{\sharp }=(Y_{i\dots k}\mathbf {e} ^{i}\otimes \dots \otimes \mathbf {e} ^{k})^{\sharp }=g^{ir}\dots g^{kt}\,Y_{i\dots k}\,\mathbf {e} _{r}\otimes \dots \otimes \mathbf {e} _{t}.

Trace d'un tenseur à travers un tenseur métrique

Étant donné un champ tensoriel de type (0, 2) $X = X ij e i \otimes e 2$ , on définit la trace de $X$ à travers le tenseur métrique $g$ par

\operatorname {tr} _{g}(X):=\operatorname {tr} (X^{\sharp })=\operatorname {tr} (g^{jk}X_{ij}\,{\bf {e}}^{i}\otimes {\bf {e}}_{k})=g^{ji}X_{ij}=g^{ij}X_{ij}.

Remarquons que la définition de trace est indépendante du choix de l'indice à relever, puisque le tenseur métrique est symétrique.

Voir également

Dualité (mathématiques)
Hausse et baisse des indices
Dual space § Produits bilinéaires et espaces duaux
Hodge double
Ensemble de vecteurs
Flat (musique) et Sharp (musique) sur les signes flat
et sharp

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Musical isomorphism » (voir la liste des auteurs).

Lee 2003, Chapitre 11.
Lee 1997, Chapitre 3.
Vaz et da Rocha 2016, pp. 48, 50.

Bibliographie

(en) J. M. Lee, Introduction to Smooth manifolds, vol. 218, coll. « Springer Graduate Texts in Mathematics », 2003 (ISBN 0-387-95448-1)
(en) J. M. Lee, Riemannian Manifolds – An Introduction to Curvature, vol. 176, New York · Berlin · Heidelberg, Springer Verlag, coll. « Springer Graduate Texts in Mathematics », 1997 (ISBN 978-0-387-98322-6)
(en) Jayme Vaz et Roldão da Rocha, An Introduction to Clifford Algebras and Spinors, Oxford University Press, 2016 (ISBN 978-0-19-878-292-6)

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[Lee2003Chapitre_11-1] Lee 2003, Chapitre 11.

[Lee1997Chapitre_3-2] Lee 1997, Chapitre 3.

[Vazda_Rocha2016pp._48,_50-3] Vaz et da Rocha 2016, pp. 48, 50.