Jacques Touchard

Les nombres de Catalan[1]

${\displaystyle C_{k}={1 \over {k+1}}{{2k} \choose {k}},\quad k\geq 0}$

sont reliés par l'identité algébrique suivante, attribuée à Touchard[2] :

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\quad C_{n+1}=\sum _{k\,\leq \,n/2}2^{n-2k}{n \choose 2k}C_{k}}$ .

En utilisant la fonction génératrice de Catalan

${\displaystyle C(t)=\sum _{n\geq 0}C_{n}t^{n}={{1-{\sqrt {1-4t}}} \over {2t}}}$ ,

on peut démontrer par manipulations algébriques de séries génératrices que l'identité de Touchard est équivalente à l'équation fonctionnelle satisfaite par C :

${\displaystyle {t \over {1-2t}}C\left({t^{2} \over (1-2t)^{2}}\right)=C(t)-1}$ .