Nombre de Catalan

La suite de Catalan fut décrite pour la première fois au XVIII^e siècle par le Suisse Leonhard Euler qui s'était intéressé au dénombrement des différentes façons de partager un polygone en triangles (et d'ailleurs aussi à l'origine indirecte du sudoku américano-japonais[1]). La suite est nommée ainsi en l'honneur d'Eugène Charles Catalan qui découvrit quant à lui la relation avec le parenthésage d'expressions pendant son étude du problème des tours de Hanoï.

La première publication sur ces nombres est due à Segner et ils prennent alors le nom de nombres de Segner. Eugène Charles Catalan fit le lien avec le nombre d'expressions « parenthésées » et le nom de Catalan remplaça celui de Segner. L'astuce de comptage des mots de Dyck fut trouvée par Désiré André en 1887.

En 1988, dans la revue chinoise Neimenggu Daxue Xuebao, fut publié le fait que la suite des nombres de Catalan avait été utilisée en Chine par le mathématicien Ming Antu (ou Minggatu) dès 1730, lors de l'écriture de son livre Ge Yuan Mi Lu Jie Fa (en), achevé par son élève Chen Jixin en 1774 et publié 60 ans plus tard. P. J. Larcombe esquissa en 1999 certaines des caractéristiques du travail de Ming Antu, comme le fait qu'il utilisa la suite des nombres de Catalan pour exprimer des développements en séries de sin(2α) et sin(4α) en termes de sin(α)[2].

Une autre expression pour ${\displaystyle C_{n}}$ est

${\displaystyle C_{n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}\quad {\text{pour }}n\geqslant 0,}$

ce qui est équivalent à l'expression précédente car ${\displaystyle {\binom {2n}{n+1}}={\frac {n}{n+1}}{\binom {2n}{n}}}$. Cela montre que ${\displaystyle C_{n}}$ est un entier naturel, ce qui n'est pas évident de prime abord à partir de la première formule.

Les nombres de Catalan satisfont aussi à la relation de récurrence

${\displaystyle C_{0}=1\quad {\mbox{et}}\quad C_{n+1}=\sum _{i=0}^{n}C_{i}\,C_{n-i}\quad {\text{pour }}n\geqslant 0.}$

De plus,

${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}^{2}.}$

Cela est dû au fait que ${\displaystyle {2n \choose n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}^{2}}$. Ils vérifient aussi ${\displaystyle C_{0}=1}$ et ${\displaystyle C_{n+1}={\frac {2(2n+1)}{n+2}}C_{n}}$, ce qui peut être un moyen plus efficace pour les calculer.

La formule de Stirling permet de calculer un équivalent asymptotique de la suite des nombres de Catalan[3] :

${\displaystyle C_{n}\sim {\frac {4^{n}}{n^{3/2}{\sqrt {\pi }}}}}$

Un résultat dû à Ernst Kummer, et qui se déduit trivialement de la relation de récurrence indiquée plus haut, aboutit à ce que les seuls nombres de Catalan ${\displaystyle C_{n}}$ impairs sont ceux pour lesquels ${\displaystyle n=2^{k}-1}$. Tous les autres sont pairs.

Il existe de nombreux problèmes combinatoires dont la solution est donnée par les nombres de Catalan. Les nombres de Catalan peuvent être interprétés de différentes façons dont voici quelques exemples :

• ${\displaystyle C_{n}}$ est égal au nombre de mots de Dyck de longueur 2n.
• ${\displaystyle C_{n}}$ est également le nombre de façons différentes de placer des parenthèses autour de n + 1 facteurs, pour préciser une expression faisant intervenir n fois une loi de composition interne non associative.
• ${\displaystyle C_{n}}$ est également le nombre d'arbres binaires entiers à n + 1 feuilles.
• ${\displaystyle C_{n}}$ est aussi égal au nombre de façons de découper en triangles un polygone convexe à n + 2 côtés en reliant certains de ses sommets par des segments de droite.
• ${\displaystyle C_{n}}$ est le nombre de chemins monotones le long des arêtes d'une grille à n × n carrés, qui restent sous (ou au niveau de) la diagonale.
• ${\displaystyle C_{n}}$ est le nombre de trajectoires de longueur 2n + 1 d'une marche aléatoire simple qui ont la propriété d'aller de la hauteur 0 à la hauteur 1 en restant négatif ou nul lors des 2n premières étapes.
• ${\displaystyle C_{n}}$ est le nombre d'arbres planaires enracinés à n arêtes.

Mots de Dyck

Un mot de Dyck est une chaîne de caractères formée de n lettres X et de n lettres Y, telle qu'aucun préfixe (mot obtenu en supprimant les dernières lettres à partir d'un rang quelconque) ne contienne strictement plus de Y que de X. Autrement dit, lorsque nous parcourons un mot de Dyck de gauche à droite, le nombre de X rencontrés est toujours supérieur ou égal au nombre de Y. Par exemple, les mots de Dyck de la longueur 6 sont:

${\displaystyle XXXYYY,\quad XYXXYY,\quad XYXYXY,\quad XXYYXY,\quad XXYXYY.}$

En l'occurrence, C₃= 5.

Assimilant X à une parenthèse ouvrante et Y à une parenthèse fermante, un mot de Dyck de longueur 2n peut être vu comme une expression formée de n paires de parenthèses correctement assemblées : ((())), ()(()), ()()(), (())(), (()()) ; voir aussi Langage de Dyck. Les mots de Dyck peuvent être naturellement représentés comme des chemins dans un quadrillage de n + 1 points par n + 1 points, reliant certains points par les traits verticaux et horizontaux. Ces chemins commencent dans le coin inférieur gauche, et se terminent dans le coin supérieur droit, en allant toujours vers le haut ou vers la droite, mais ne passant jamais au-dessus de la diagonale principale. X représente alors un « déplacement vers la droite » et Y représente un « déplacement vers le haut ».
Nous pouvons compter les mots de Dyck avec l'astuce suivante appelée principe de symétrie : intéressons-nous aux mots contenant n X et n Y qui ne sont pas des mots de Dyck. Dans de tels mots, déterminons le premier Y qui brise la condition de Dyck, puis modifions toutes les lettres qui suivent ce Y, en échangeant X avec Y et vice versa. Nous obtenons un mot avec n + 1 Y et n - 1 X, et en fait tous les mots comportant n + 1 Y et n-1 X peuvent être obtenus par ce moyen et de manière unique. Le nombre de ces mots est le nombre de façons de placer les n - 1 X dans 2n emplacements et est égal à

${\displaystyle {2n \choose n-1}}$

ce qui donne le nombre de mots qui ne sont pas de Dyck ; le nombre de mots de Dyck est égal à

${\displaystyle {2n \choose n}-{2n \choose n-1}}$

qui est le n-ième nombre de Catalan ${\displaystyle C_{n}}$.

Notons que ce dénombrement est celui posé dans le problème du scrutin au sens large.

Une généralisation au cas où les lettres X et Y ne sont pas en même quantité se trouve dans l'article sur le triangle de Catalan.

Triangulations d'un polygone

${\displaystyle C_{n}}$ est aussi égal au nombre de façons de découper en triangles un polygone convexe à ${\displaystyle n+2}$ côtés en reliant certains de ses sommets par des segments de droite.

Pour n = 3, un polygone à n + 2 sommets est un pentagone : le nombre de ses triangulations est C₃ = 5.

Arbres binaires

${\displaystyle C_{n}}$ est également le nombre d'arbres binaires à n nœuds (internes et externes).

${\displaystyle C_{n}}$ est aussi le nombre d'arbres binaires entiers à n + 1 feuilles[n 1]. La correspondance entre les produits non associatifs, les triangulations d'un polygone et les arbres binaires entiers est illustré sur l'image ci-dessous.

Illustration de la bijection entre les triangulations d'un polygone, les produits non associatifs et les arbres binaires (pour n=4).

Chemins sous-diagonaux dans le carré

${\displaystyle C_{n}}$ est le nombre de chemins monotones le long des arêtes d'une grille à n × n carrés, qui restent sous (ou au niveau de) la diagonale. Un chemin monotone part du coin Sud-Ouest, arrive dans le coin Nord-Est, et est constitué d'arêtes dirigées à droite ou vers le haut. Un mot de Dyck encode un tel chemin de la manière suivante : X signifie « va à droite » et Y signifie « monte ». Les diagrammes ci-dessous représentent le cas n = 4 :

Pour ${\displaystyle n=1,2,3,4,5,6,7,\dots }$, l'aire totale sous les chemins vaut : ${\displaystyle 0,1,8,47,244,1186,5536,\dots }$ (suite A029760 de l'OEIS).

Trajectoires de la marche aléatoire simple

Bijection entre chemins et arbres planaires.

${\displaystyle C_{n}}$ est le nombre de trajectoires de longueur 2n + 1 d'une marche aléatoire simple qui ont la propriété d'aller de la hauteur 0 à la hauteur 1 en restant négatif ou nul lors des 2n premières étapes. On peut voir cela en faisant pivoter de 45 degrés le chemin entre les deux coins d'un carré décrit lors du premier exemple. C'est aussi le nombre de trajectoires de longueur 2n + 2 allant de la hauteur 0 à la hauteur 0 en restant strictement positives lors des 2n + 1 étapes intermédiaires, ou encore le nombre de trajectoires de longueur 2n allant de la hauteur 0 à la hauteur 0 en restant positives ou nulles lors des 2n – 1 étapes intermédiaires. Dans ce dernier cas on peut coder la trajectoire par une suite de 2n signes + et – (pour montée et descente), la condition de positivité se traduisant par le fait que cette suite est un mot de Dyck (car chaque préfixe a plus de montées que de descentes). Ainsi, pour la marche aléatoire simple, la probabilité que le premier temps de retour en 0, partant de 0, ait lieu à l'instant 2n + 2, est ${\displaystyle 2C_{n}p^{n+1}(1-p)^{n+1}}$, le facteur 2 prenant en compte les trajectoires strictement négatives en plus des trajectoires strictement positives. De même, la probabilité que le premier temps d'atteinte de 1, partant de 0, ait lieu à l'instant 2n + 1, est ${\displaystyle C_{n}p^{n+1}(1-p)^{n}}$.

Arbres planaires

${\displaystyle C_{n}}$ est le nombre d'arbres planaires enracinés à n arêtes. La bijection avec les mots de Dyck, ou encore avec les trajectoires de marches aléatoires, est donnée très visuellement par un parcours extérieur de l'arbre. La trajectoire obtenue est le graphe de la fonction qui à chaque coin (secteur angulaire délimité par un sommet et deux arêtes contigües issues de ce sommet) associe la hauteur du sommet (la distance du sommet à la racine). Les coins sont parcourus dans l'ordre correspondant au parcours autour de l'arbre (voir figure ci-contre). Chaque sommet est visité autant de fois qu'il y a de coins issus de ce sommet, c.-à-d. le nombre de visites à un sommet est le degré de ce sommet ; à titre d'exception, le nombre de visites à la racine est son degré plus un (plus le retour final à la racine, qui revient à visiter deux fois le coin origine). Ainsi le nombre de pas de la marche est la somme des degrés du graphe, c.-à-d. deux fois le nombre d'arêtes du graphe.

Bijection entre les 5 arbres à 3 arêtes (ligne supérieure), les 5 trajectoires positives de longueur 6 (ligne intermédiaire) et les mots de Dyck correspondants (ligne inférieure).

Bijections entre les exemples

Les ensembles décrits plus haut qui sont à ${\displaystyle C_{n}}$ éléments sont clairement en bijection les uns avec les autres.

Les bijections entre deux ensembles symétriques (produits non associatifs, triangulations d'un polygone, arbres binaires entiers) sont décrits plus haut. De même les bijections entre deux ensembles latéralisés (mots de Dyck, chemins monotones sous la diagonale, marches aléatoires positives, arbres planaires) sont décrits dans les sections précédentes. La bijection entre les arbres binaires entiers à 2n arêtes et les arbres planaires à n arêtes se fait en contractant soit les arêtes gauches, soit les arêtes droites de l'arbre binaire. D'où les appellations « symétriques » et « latéralisés ».

Contractions gauche et droite d'un arbre binaire vers deux arbres planaires.

L'image suivant illustre les différentes bijections avec un exemple concret :

Illustrations des différentes bijections entre les ensembles à C_n éléments (ici n = 4).

• Comme vu précédemment, les nombres de Catalan satisfont la relation de récurrence

${\displaystyle C_{0}=1\qquad {\mbox{et pour}}\quad n\geqslant 1\qquad C_{n}=\sum _{i=0}^{n-1}C_{i}C_{n-1-i}.}$ Ceci vient du fait que tout mot de Dyck w de longueur supérieure à 2 peut s'écrire de manière unique sous la forme${\displaystyle w=Xw_{1}Yw_{2},}$où w₁ et w₂ désignent des mots de Dyck (éventuellement vides). La série génératrice des nombres de Catalan est définie par${\displaystyle c(x)=\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}x^{n}}$et en utilisant la relation de récurrence ci-dessus, on voit que${\displaystyle c(x)=1+xc(x)^{2}}$et par conséquent${\displaystyle c(x)={\frac {1-(1-4x)^{1/2}}{2x}}}$[n 2];réciproquement, partant de la série génératrice, on obtient aisément la formule explicite des ${\displaystyle C_{n}}$ en utilisant le développement de Newton de ${\displaystyle (1-4x)^{1/2}}$ ; ce passage d'une relation de récurrence à une formule explicite est une des utilisations les plus importantes des séries génératrices.

• D'autre part, ils satisfont la relation de récurrence

${\displaystyle C_{0}=1,\forall n\geqslant 1\quad C_{n}={\frac {2(2n-1)}{n+1}}C_{n-1},}$ qui permet aussi de retrouver la série génératrice, en effet, cette relation montre que ${\displaystyle c(x)}$ est la solution de l'équation différentielle${\displaystyle (x-4x^{2})c'(x)+(1-2x)c(x)-1=0}$qui vaut 1 en 0.

• Ils satisfont enfin à la relation de récurrence de Jacques Touchard :

${\displaystyle C_{0}=1,\forall n\geqslant 0\quad C_{n+1}=\sum _{0\leqslant k\leqslant \,n/2}2^{n-2k}{n \choose 2k}C_{k}}$.

La matrice de Hankel d'ordre n dont le terme ${\displaystyle (i,j)}$ est le nombre de Catalan ${\displaystyle C_{i+j-2}}$ a pour déterminant 1, indépendamment de la valeur de n.

Ainsi, pour n = 4, nous avons

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}1&1&2&5\\1&2&5&14\\2&5&14&42\\5&14&42&132\end{pmatrix}}=1.}$

De plus, si les termes sont « décalés », en prenant les nombres de Catalan ${\displaystyle C_{i+j-1}}$, le déterminant est toujours 1, indépendamment de la valeur de n[n 3].

Ainsi, pour n = 4, nous avons

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}1&2&5&14\\2&5&14&42\\5&14&42&132\\14&42&132&429\end{pmatrix}}=1.}$

La suite des nombres de Catalan est la seule suite de nombres[n 4] ayant cette double propriété.