Lemme d'Artin-Tate

La preuve suivante peut être trouvée dans Atiyah-MacDonald[3]. Soient ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}}$ engendrant ${\displaystyle C}$ en tant que ${\displaystyle A}$-algèbre et soient ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$ engendrant ${\displaystyle C}$ comme ${\displaystyle B}$-module. On peut alors écrire

${\displaystyle x_{i}=\sum _{j}b_{ij}y_{j}\quad {\text{et}}\quad y_{i}y_{j}=\sum _{k}b_{ijk}y_{k}}$

avec ${\displaystyle b_{ij},b_{ijk}\in B}$. Alors ${\displaystyle C}$ est fini (engendré par ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$) sur la ${\displaystyle A}$-algèbre ${\displaystyle B_{0}}$ engendrée par les ${\displaystyle b_{ij},b_{ijk}}$. En utilisant le fait que ${\displaystyle A}$ et donc ${\displaystyle B_{0}}$ sont noethériens, le sous-module ${\displaystyle B\subset C}$ est lui aussi fini sur ${\displaystyle B_{0}}$. Puisque ${\displaystyle B_{0}}$ est de type fini en tant que ${\displaystyle A}$-algèbre, ${\displaystyle B}$ est aussi une ${\displaystyle A}$-algèbre de type fini.

Sans l'hypothèse que A est noethérien, l'énoncé du lemme d'Artin-Tate n'est plus vrai. En effet, pour tout anneau A non noethérien, on peut définir une structure de A-algèbre sur ${\displaystyle C:=A\oplus A}$ en posant ${\displaystyle (a,x)(b,y)=(ab,bx+ay)}$. Alors pour tout idéal ${\displaystyle I\subset A}$ qui n'est pas de type fini, ${\displaystyle B:=A\oplus I\subset C}$ n'est pas de type fini sur A, bien que toutes les autres hypothèses du lemme soient satisfaites.