Théorème des zéros de Hilbert

Procédons par récurrence sur le nombre de générateurs de la K-algèbre A, supposée être un corps. Il faut montrer que ces générateurs sont algébriques sur K. S'il n'y a pas de générateur, il n'y a rien à démontrer. Supposons le résultat vrai pour toute K-algèbre engendrée par n générateurs qui soit également un corps et donnons-nous une K-algèbre A engendrée par n + 1 éléments ${\displaystyle x_{0},x_{1},...,x_{n}}$ qui soit un corps.

• A est engendrée par ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$ sur ${\displaystyle K(x_{0})}$, corps des fractions de ${\displaystyle K[x_{0}]}$ inclus dans le corps A. Par hypothèse de récurrence, les ${\displaystyle x_{i},i>0}$, sont annulés par des polynômes unitaires ${\displaystyle P_{i}}$ à coefficients dans ${\displaystyle K(x_{0})}$ et il reste à voir que ${\displaystyle x_{0}}$ est algébrique sur K.
• Notant ${\displaystyle f\in K[x_{0}]}$ le produit de tous les dénominateurs intervenant dans les coefficients des ${\displaystyle P_{i}}$, les ${\displaystyle x_{i}}$ sont entiers sur le localisé ${\displaystyle K[x_{0}]_{f}}$, donc A est entier sur ${\displaystyle K[x_{0}]_{f}}$.
• Si ${\displaystyle x_{0}}$ était transcendant sur K, alors ${\displaystyle K[x_{0}]_{f}}$ serait intégralement clos donc, d'après le point précédent, égal à ${\displaystyle K(x_{0})}$, ce qui absurde. Finalement, ${\displaystyle x_{0}}$ est bien algébrique sur K.

Soit ${\displaystyle M\in \operatorname {Spm} K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ un idéal maximal. D'après le théorème 1, K[X₁,…,X_n]/M est une extension finie de K ; il est donc égal à K car un corps algébriquement clos n'a que lui-même comme extension finie. Pour tout ${\displaystyle i=1,2,\dots ,n}$, on note ${\displaystyle a_{i}\in K}$ la classe de ${\displaystyle X_{i}}$ dans le quotient. Alors ${\displaystyle X_{i}-a_{i}}$ appartient à ${\displaystyle M}$. Donc ${\displaystyle M}$ contient l'idéal ${\displaystyle (X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n})}$. Comme celui-ci est maximal, on a l'égalité. L'unicité de ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$ résulte du fait que si ${\displaystyle (b_{1},\dots ,b_{n})}$ est un autre n-uplet vérifiant la même propriété, alors ${\displaystyle a_{i}-b_{i}=(X_{i}-b_{i})-(X_{i}-a_{i})}$ appartient à ${\displaystyle M}$, et est donc nul car sinon ce serait un scalaire inversible dans ${\displaystyle M}$.

Soit ${\displaystyle I}$ un tel idéal. Il est contenu dans un idéal maximal ${\displaystyle M}$. Il suit du théorème 2 que ${\displaystyle M=(X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n})}$ et donc ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$ est une racine commune des éléments de ${\displaystyle I}$.

Quitte à remplacer ${\displaystyle A}$ par ${\displaystyle A/I}$, on peut supposer que ${\displaystyle I=0}$. L'inclusion du nilradical dans l'intersection des maximaux est immédiate. Il reste à montrer l'inclusion inverse. Soit ${\displaystyle f}$ appartenant à l'intersection des maximaux de ${\displaystyle A}$. Si ${\displaystyle f}$ n'est pas nilpotent, on peut considérer la partie multiplicative ${\displaystyle S}$ de ${\displaystyle A}$ constituée des puissances entières strictement positives de ${\displaystyle f}$. La localisation ${\displaystyle A_{f}=S^{-1}A}$ est encore une algèbre de type fini sur K car elle est isomorphe à ${\displaystyle A[T]/(Tf-1)}$. Soient ${\displaystyle M'}$ un idéal maximal de ${\displaystyle A_{f}}$ et ${\displaystyle M}$ son image réciproque dans ${\displaystyle A}$ par l'homomorphisme canonique de localisation ${\displaystyle A\to A_{f}}$. Alors ${\displaystyle A/M\to A_{f}/M'}$ est injectif. Par le théorème 1, ${\displaystyle A_{f}/M'}$ est une extension finie de K, donc entier sur ${\displaystyle A/M}$. C'est alors un exercice facile de voir que ${\displaystyle A/M}$ est un corps, et donc ${\displaystyle M}$ est maximal. Par sa construction, ${\displaystyle M}$ ne contient pas ${\displaystyle f}$ (celui-ci étant inversible dans ${\displaystyle A_{f}}$, ${\displaystyle M'}$ serait égal à l'idéal unité sinon). Ce qui aboutit à une contradiction puisque ${\displaystyle f}$ est supposé appartenir à tous les idéaux maximaux de ${\displaystyle A}$.

Pour tout idéal maximal ${\displaystyle M=(X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n})}$ contenant ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$ est un point de ${\displaystyle Z(I)}$, donc annule ${\displaystyle f}$. Il suit que ${\displaystyle f}$ appartient à ${\displaystyle M}$. Par le théorème 4, ${\displaystyle f}$ appartient au radical de ${\displaystyle I}$, donc une puissance de ${\displaystyle f}$ appartient à ${\displaystyle I}$.