Loi d'extremum généralisée

La fonction de répartition (distribution cumulée) est

${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma ,\xi )=\exp \left\{-\left[1+\xi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right]_{+}^{-1/\xi }\right\}}$

avec

${\displaystyle \left(1+\xi (x-\mu )/\sigma \right)_{+}=\max \left(0,1+\xi (x-\mu )/\sigma \right)}$,

où ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ est un paramètre de position, σ > 0 un paramètre de dispersion et ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$ un paramètre de forme appelé indice des valeurs extrêmes. Si ξ = 0, l'expression n'est pas définie et doit s'entendre comme une limite qu'on peut calculer :

${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma ,0)=\exp \left[-\exp \left(-{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right].}$

La fonction de densité est

${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ,\xi )={\frac {1}{\sigma }}\left[1+\xi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right]^{(-1/\xi )-1}\exp \left\{-\left[1+\xi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right]^{-1/\xi }\right\}}$

${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ,0)={\frac {1}{\sigma }}\exp \left(-{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\exp \left[-\exp \left(-{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right]}$

L'espérance, la variance et le mode d'une variable suivant la loi d'extremum généralisée peuvent s'exprimer par :

${\displaystyle \mathbb {E} (X)=\mu -{\frac {\sigma }{\xi }}+{\frac {\sigma }{\xi }}g_{1},}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {\sigma ^{2}}{\xi ^{2}}}(g_{2}-g_{1}^{2}),}$

${\displaystyle \operatorname {Mode} (X)=\mu +{\frac {\sigma }{\xi }}[(1+\xi )^{-\xi }-1].}$

où g_k = Γ(1–k ξ), pour k=1,2,3,4

(Γ(t) est la fonction gamma).

La dissymétrie dépend du signe de ξ

${\displaystyle \kappa _{3}(X)=\mathbb {E} \left[\left({\frac {X-\mathbb {E} (X)}{\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}}\right)^{3}\right]=\mathrm {sgn} (\xi ){\frac {g_{3}-3g_{1}g_{2}+2g_{1}^{3}}{(g_{2}-g_{1}^{2})^{3/2}}}.}$

La kurtosis vaut :

${\displaystyle \kappa _{4}(X)=\mathbb {E} \left[\left({\frac {X-\mathbb {E} (X)}{\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}}\right)^{4}\right]={\frac {g_{4}-4g_{1}g_{3}+6g_{2}g_{1}^{2}-3g_{1}^{4}}{(g_{2}-g_{1}^{2})^{2}}}-3.}$

Le paramètre ξ spécifie le comportement de la distribution dans ses queues. Les valeurs ξ = 0, ξ > 0 et ξ < 0 correspondent, respectivement, aux lois de Gumbel, de Fréchet et de Weibull.

• Gumbel ou loi d'extrémum de type I (ξ = 0)${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma ,0)=\exp \left(-e^{-(x-\mu )/\sigma }\right)\;\;\;\forall \;x\in \mathbb {R} .}$
• Fréchet ou loi d'extrémum de type II (ξ = α ⁻¹ > 0)${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma ,\xi )={\begin{cases}0&x\leq \mu \\e^{-((x-\mu )/\sigma )^{-\alpha }}&x>\mu .\end{cases}}}$
• Weibull ou loi d'extrémum de type III (ξ = −α ⁻¹ < 0)${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma ,\xi )={\begin{cases}e^{-(-(x-\mu )/\sigma )^{\alpha }}&x<\mu \\1&x\geq \mu \end{cases}}}$avec ${\displaystyle \sigma >0}$.

Remarques

• La distribution décrite est celle d'un maximum. La loi d'extrémum généralisée pour un minimum s'obtient en remplaçant x par −x dans les fonctions, et en passant de F à 1 – F.
  En particulier, la loi de Weibull « ordinaire », telle qu'elle apparaît dans les études de fiabilité, s'obtient en posant la variable t = μ – x, pour offrir un support strictement positif x > 0. Elle se voit donc « retournée » : son domaine a une borne inférieure au lieu d'une borne supérieure. Cependant, dans les applications pratiques, 0 est souvent pris comme borne inférieure.
• Les trois lois ont des domaines de nature différente : la loi de Gumbel est non bornée, la loi de Fréchet est bornée inférieurement, la loi de Weibull retournée est bornée supérieurement.

Il y a un lien entre les lois de types I, II et III : la loi de type I est la distribution du logarithme d'une loi de type II ou d'une loi de type III (du log de l'opposé d'une type III retournée).

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Generalized extreme value distribution » (voir la liste des auteurs).
• (en) Paul Embrechts, Claudia Klüppelberg et Thomas Mikosch, Modelling Extremal Events : For Insurance and Finance, Berlin, Springer Verlag, 1997 (lire en ligne)
• (en) M. R. Leadbetter, G. Lindgren et H. Rootzén, Extremes and Related Properties of Random Sequences and Processes, Springer-Verlag, 1983 (ISBN 978-1-4612-5451-5)
• (en) S. I. Resnick, Extreme Values, Regular Variation, and Point Processes, Springer-Verlag, 2008 (1^re éd. 1987), 320 p. (ISBN 978-0-387-75952-4, lire en ligne)
• (en) Stuart Coles, An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values,, Springer-Verlag, 2001, 208 p. (ISBN 1-85233-459-2, lire en ligne)

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