Loi de Morrie

La loi de Morrie est le cas particulier, où ${\displaystyle n=3}$ et ${\displaystyle \textstyle \alpha ={\frac {\pi }{9}}=20^{\circ }}$, de l'identité plus générale[5] :

${\displaystyle 2^{n}\cdot \prod _{k=0}^{n-1}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{\sin(\alpha )}}}$

avec ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$ et ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}$[9].

La curiosité tient au fait que, si on choisit ${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2^{n}+1}}}$, le membre de droite vaut 1 (on le montre en remplaçant ${\displaystyle \sin(\alpha )}$ par ${\displaystyle \sin(\pi -\alpha )}$ au dénominateur), et l'égalité devient alors[10] :

${\displaystyle 2^{n}\cdot \prod _{k=0}^{n-1}\cos \left({\frac {2^{k}}{2^{n}+1}}\pi \right)=1}$.

La première généralisation est elle-même le cas particulier, où ${\displaystyle b=2}$, de l'identité plus générale[10] :

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\left(\sum _{j=0}^{b-1}\cos {\Big (}(b-2j-1)b^{k}\alpha {\Big )}\right)={\frac {\sin(b^{n}\alpha )}{\sin(\alpha )}}}$

avec ${\displaystyle b\in \mathbb {N} ^{*}}$.

En effet, en choisissant ${\displaystyle b=2}$ le membre de gauche devient ${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}{\Big (}\cos(2^{k}\alpha )+\cos(-2^{k}\alpha ){\Big )}=\prod _{k=0}^{n-1}{\Big (}2\cos(2^{k}\alpha ){\Big )}=2^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\cos(2^{k}\alpha )}$, ce qui permet de retrouver la première généralisation.

Il existe diverses autres généralisations de la loi de Morrie, citées notamment dans un livre d'exercices de trigonométrie de 1930[11]^,[12], telles que :

${\displaystyle \prod _{r=1}^{m}\cos \left({\frac {r\pi }{2m+1}}\right)=2^{-m}}$

dont la loi de Morrie est le cas particulier où ${\displaystyle m=4}$.

En utilisant la formule de l'angle double pour la fonction sinus :

${\displaystyle \sin(2\alpha )=2\sin \alpha \cos \alpha }$

on trouve l'expression de ${\displaystyle \cos(\alpha )}$, et par suite, de ${\displaystyle \cos(2\alpha )}$, ${\displaystyle \cos(4\alpha )}$ ... ${\displaystyle \cos(2^{n-1}\alpha )}$[5]^,[11] :

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \alpha &={\frac {\sin(2\alpha )}{2\sin \alpha }}\\\cos(2\alpha )&={\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )}}\\\cos(4\alpha )&={\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\\&{}\,\,\,\vdots \\\cos(2^{n-1}\alpha )&={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2\sin(2^{n-1}\alpha )}}.\end{aligned}}}$

En multipliant toutes ces expressions les unes avec les autres, on obtient :

${\displaystyle \cos \alpha \cos(2\alpha )\cos(4\alpha )\cdots \cos(2^{n-1}\alpha )={\frac {\cancel {\sin(2\alpha )}}{2\sin \alpha }}\cdot {\frac {\cancel {\sin(4\alpha )}}{2\ {\cancel {\sin(2\alpha )}}}}\cdot {\frac {\cancel {\sin(8\alpha )}}{2\ {\cancel {\sin(4\alpha )}}}}\cdots {\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2\ {\cancel {\sin(2^{n-1}\alpha )}}}}}$.

Dans la partie droite de l'expression, les numérateurs et dénominateurs intermédiaires s'éliminent deux à deux, ne laissant que le premier dénominateur ${\displaystyle \sin \alpha }$ et le numérateur final ${\displaystyle \sin(2^{n}\alpha )}$ (on dit qu'il s'agit d'un produit télescopique), ainsi qu'une puissance de 2 au dénominateur (${\displaystyle 2^{n}}$ car il y a ${\displaystyle n}$ termes) ; il vient alors :

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2^{n}\sin \alpha }}}$,

ce qui est équivalent à la première généralisation de l'identité.

Preuve géométrique utilisant un ennéagone.

Pour démontrer la loi de Morrie, une preuve géométrique utilisant un ennéagone régulier a été publiée en 2008[13], puis une autre en 2015[14].

Cette dernière s'appuie sur l'ennéagone ${\displaystyle ABCDEFGHI}$ ci-contre, de côté 1. Soient ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle J}$, ${\displaystyle K}$ et ${\displaystyle L}$ les milieux de, respectivement, ${\displaystyle [AB]}$, ${\displaystyle [BD]}$, ${\displaystyle [DF]}$ et ${\displaystyle [BF]}$.

On montre que ${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{9}}}$, ${\displaystyle \beta ={\frac {2\pi }{9}}}$, et ${\displaystyle \gamma ={\frac {4\pi }{9}}}$.

${\displaystyle \triangle KEF}$ est rectangle en ${\displaystyle K}$, donc ${\displaystyle \textstyle \cos(\alpha )={\frac {|KF|}{|EF|}}}$. Or ${\displaystyle |DF|=2\cdot |KF|}$ car ${\displaystyle K}$ est milieu de ${\displaystyle [DF]}$, donc :

${\displaystyle |DF|=2\cdot |EF|\cdot \cos {\bigg (}{\frac {\pi }{9}}{\bigg )}}$.

${\displaystyle \triangle DFL}$ est rectangle en ${\displaystyle L}$, donc ${\displaystyle \textstyle \cos(\beta )={\frac {|LF|}{|DF|}}}$. Or ${\displaystyle |BF|=2\cdot |LF|}$ car ${\displaystyle L}$ est milieu de ${\displaystyle [BF]}$, donc :

${\displaystyle |BF|=2\cdot |DF|\cdot \cos {\bigg (}{\frac {2\pi }{9}}{\bigg )}}$.

${\displaystyle \triangle BFM}$ est rectangle en ${\displaystyle M}$, donc ${\displaystyle \textstyle \cos(\gamma )={\frac {|BM|}{|BF|}}}$. Or ${\displaystyle |AB|=2\cdot |BM|}$ car ${\displaystyle M}$ est milieu de ${\displaystyle [AB]}$, donc :

${\displaystyle |AB|=2\cdot |BF|\cdot \cos {\bigg (}{\frac {4\pi }{9}}{\bigg )}}$.

Or ${\displaystyle |AB|=|EF|=1}$ car ce sont des côtés de l'ennéagone, et en remplaçant ${\displaystyle |BF|}$ et ${\displaystyle |DF|}$ par les expressions ci-dessus, on obtient :

${\displaystyle 1=2\cdot 2\cdot 2\cdot \cos {\bigg (}{\frac {\pi }{9}}{\bigg )}\cdot \cos {\bigg (}{\frac {2\pi }{9}}{\bigg )}\cdot \cos {\bigg (}{\frac {4\pi }{9}}{\bigg )}}$, d'où la loi de Morrie.

Les auteurs de cette preuve ont par la suite publié, en 2016, une preuve géométrique d'un autre cas particulier de la première généralisation de la loi de Morrie, celui où ${\displaystyle n=3}$ et ${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{7}}}$, en utilisant un heptagone régulier[15].