Loi de Tukey-lambda

En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Tukey-lambda est une loi de probabilité à support compact ou infini, en fonction de la valeur de son paramètre. Cette loi est à densité, cependant sa densité ne possède pas d'expression analytique. La loi est alors définie par ses quantiles.

Loi de Tukey-lambda



Paramètres	$\lambda \in \mathbb {R}$ paramètre de forme
Support	${\begin{cases}x\in [{\frac {-1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }}]&{\text{ pour }}\lambda >0\\x\in \mathbb {R} &{\text{ pour }}\lambda <0\end{cases}}$
Densité de probabilité	donnée par les quantiles : $(Q(p;\lambda )\,,Q'(p;\lambda )^{-1}),\,0\leq \,p\,\leq \,1$
Fonction de répartition	$(e^{-x}+1)^{-1},{\text{ pour }}\lambda =0$
Espérance	$0{\text{ pour }}\lambda >-1$
Médiane	0
Mode	0
Variance	${\begin{cases}{\frac {2}{\lambda ^{2}}}{\bigg (}{\frac {1}{1+2\lambda }}-{\frac {\Gamma (\lambda +1)^{2}}{\Gamma (2\lambda +2)}}{\bigg )}&{\text{ si }}\lambda >-1/2\\{\frac {\pi ^{2}}{3}}&{\text{ si }}\lambda =0\end{cases}}$
Asymétrie	$0{\text{ pour }}\lambda >-1/3$
Kurtosis normalisé	${\frac {(2\lambda +1)^{2}}{2(4\lambda +1)}}{\frac {g_{2}^{2}{\big (}3g_{2}^{2}-4g_{1}g_{3}+g_{4}{\big )}}{g_{4}{\big (}g_{1}^{2}-g_{2}{\big )}^{2}}}-3,$ où $\scriptstyle g_{k}=\Gamma (k\lambda +1)$ et $\scriptstyle \lambda >-1/4$ .
Entropie	$\int _{0}^{1}\log(Q'(p;\lambda ))\,dp$ [1]
Fonction caractéristique	$\int _{0}^{1}\exp(\,it\,Q(p;\lambda ))\,dp$ [2]

Différents paramétrages

La loi de Tukey-lambda est connue de façon implicite par la distribution de ses quantiles[3]:

G(p)\equiv F^{-1}(p)={\begin{cases}\left[p^{\lambda }-(1-p)^{\lambda }\right]/\lambda ,&{\mbox{si }}\lambda \neq 0\\\log(p)-\log(1-p),&{\mbox{si }}\lambda =0\end{cases}}

Le paramètre $\lambda$ est un paramètre de forme, comme le résume le tableau suivant.

λ = −1	approximativement une loi de Cauchy
λ = 0	exactement une loi logistique
λ = 0.14	approximativement une loi normale
λ = 0.5	strictement concave
λ = 1	exactement une loi uniforme continue sur]-1 ; 1[

La densité et la fonction de répartition de cette loi doivent être approchées numériquement. Cette loi a par la suite été généralisée.

Lois de Tukey-lambda généralisées

La version de Ramberg et Schmeiser[4]

$G(p)=\lambda _{1}+{p^{\lambda _{3}}-(1-p)^{\lambda _{4}} \over \lambda _{2}}$

La version de Freimer, Mudholkar, Kollia et Lin[5]

$G(p)=\lambda _{1}+{{{\frac {p^{\lambda _{3}}}{\lambda _{3}}}-{\frac {(1-p)^{\lambda _{4}}}{\lambda _{4}}}} \over \lambda _{2}}$

Notes et références

(en) Oldrich Vasicek, « A Test for Normality Based on Sample Entropy », Journal of the Royal Statistical Society, Series B (Methodological), vol. 38, n^o 1,‎ 1976, p. 54-59
(en) W. T. Shaw et J. McCabe, « Monte Carlo sampling given a Characteristic Function: Quantile Mechanics in Momentum Space », Eprint-arXiv:0903,1592,‎ 2009
Hastings, C and Mosteller, F and Tukey J W and Winsor, C P. Low moments for small samples: a comparative study of order statistics, Ann. Math. Statist. 18,413-426 ; 1947
Ramberg, John S. and Schmeiser, Bruce W., An approximate method for generating symmetric random variables, Communications of the ACM, Volume 15, Issue 11 (November 1972) Pages: 987 - 990, Year of Publication: 1972
Freimer, M and Mudholkar, GS and Kollia, G and Lin GT, A study of the generalized tukey lambda family, Communications in Statistics-Theory and Methods, 1988

Liens externes

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[1] (en) Oldrich Vasicek, « A Test for Normality Based on Sample Entropy », Journal of the Royal Statistical Society, Series B (Methodological), vol. 38, n^o 1,‎ 1976, p. 54-59

[2] (en) W. T. Shaw et J. McCabe, « Monte Carlo sampling given a Characteristic Function: Quantile Mechanics in Momentum Space », Eprint-arXiv:0903,1592,‎ 2009

[3] Hastings, C and Mosteller, F and Tukey J W and Winsor, C P. Low moments for small samples: a comparative study of order statistics, Ann. Math. Statist. 18,413-426 ; 1947

[4] Ramberg, John S. and Schmeiser, Bruce W., An approximate method for generating symmetric random variables, Communications of the ACM, Volume 15, Issue 11 (November 1972) Pages: 987 - 990, Year of Publication: 1972

[5] Freimer, M and Mudholkar, GS and Kollia, G and Lin GT, A study of the generalized tukey lambda family, Communications in Statistics-Theory and Methods, 1988