Loi logistique

La loi logistique a deux paramètres μ et s > 0 et sa densité est

${\displaystyle f(x;\mu ,{s})={\frac {e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}}{s\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{2}}}={\frac {1}{4s}}\operatorname {sech} ^{2}\!\left({\frac {x-\mu }{2s}}\right)}$

Sa fonction de répartition est

${\displaystyle F(x;\mu ,s)={\frac {1}{1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\;\operatorname {tanh} \!\left({\frac {x-\mu }{2s}}\right).}$

Son espérance et sa variance sont données par les formules suivantes :

${\displaystyle \mathbb {E} (X)=\mu \,}$

${\displaystyle {\textrm {Var}}(X)={\frac {s^{2}\pi ^{2}}{3}}}$

La loi logistique standard est la loi logistique de paramètres 0 et 1. Sa fonction de répartition est la sigmoïde :

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}}$

Son espérance vaut alors 0 et sa variance π²/3.

• Si ${\displaystyle X\sim {\textrm {logistique}}(\mu ,\beta )}$ alors ${\displaystyle kX+l\sim {\textrm {logistique}}(k\mu +l,k\beta )}$.
• Si ${\displaystyle X\sim {\mathcal {U}}(0;1)}$ (loi uniforme continue) alors ${\displaystyle \mu +\beta (\ln(X)-\ln(1-X))\sim {\textrm {logistique}}(\mu ,\beta )}$
• Si ${\displaystyle X,Y\sim {\mathcal {G}}(\alpha ,\beta )}$ (loi de Gumbel) alors ${\displaystyle X-Y\sim {\textrm {logistique}}(0,\beta )}$.
• Si ${\displaystyle X,Y\sim {\mathcal {GEV}}(\alpha ,\beta ,0)}$ (loi d'extremum généralisée) alors ${\displaystyle X-Y\sim {\textrm {logistique}}(0,\beta )}$.
• Si ${\displaystyle X\sim {\mathcal {G}}(\alpha ,\beta ),\,Y\sim {\mathcal {GEV}}(\alpha ,\beta ,0)}$ alors ${\displaystyle X+Y\sim {\textrm {logistique}}(2\alpha ,\beta )}$.
• Si ${\displaystyle X\sim {\textrm {logistique}}(\mu ,s)}$ alors son exponentielle suit une loi log-logistique : ${\displaystyle \exp(X)\sim \log -{\textrm {logistique}}\left(\alpha =e^{\mu },\beta ={\frac {1}{s}}\right)}$, et ${\displaystyle \exp(X)+\gamma \sim \log -{\textrm {logistique}}3\left(\alpha =e^{\mu },\beta ={\frac {1}{s}},\gamma \right)}$ (loi log-logistique à trois paramètres)
• Si ${\displaystyle X\sim {\mathcal {E}}(1)}$ (loi exponentielle) alors

${\displaystyle \mu +\beta \ln(e^{X}-1)\sim \operatorname {logistique} (\mu ,\beta ).}$

• Si ${\displaystyle X,Y\sim {\mathcal {E}}(1)}$alors

${\displaystyle \mu -\beta \ln \left({\frac {X}{Y}}\right)\sim \operatorname {logistique} (\mu ,\beta ).}$

La loi logistique est aussi utilisée pour le classement Elo.

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