Loi du χ non centrée

En théorie des probabilités et en statistique, la loi du $\chi$ non centrée est une généralisation la loi du χ. Si $\scriptstyle X_{i},\,i=1,\dots ,k$ , sont k variables aléatoires indépendantes de loi normale de moyennes et écart-type respectifs $\scriptstyle \mu _{i},\,i=1,\dots ,k$ et $\scriptstyle \sigma _{i},i=1,\dots ,k$ , alors

X={\sqrt {\sum _{1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}

Loi du $\chi$ non centrée



Paramètres	$k\in \{1,2,\dots \}\,$ (degrés de liberté) $\lambda >0\,$
Support	$x\in [0;+\infty [\,$
Densité de probabilité	${\frac {e^{-(x^{2}+\lambda ^{2})/2}x^{k}\lambda }{(\lambda x)^{k/2}}}I_{k/2-1}(\lambda x)$
Espérance	${\sqrt {\frac {\pi }{2}}}L_{1/2}^{(k/2-1)}\left({\frac {-\lambda ^{2}}{2}}\right)\,$
Variance	$k+\lambda ^{2}-\mu ^{2}\,$

est une variable aléatoire de loi du $\chi$ non centrée. Cette loi a deux parametres : un entier $k$ qui spécifie le nombre de degrés de liberté (c'est-à-dire le nombre de variables $X_{i}$ ), et un réel $\lambda >0$ relatif à la moyenne des variables $X_{i}$ par la formule :

\lambda ={\sqrt {\sum _{1}^{k}\left({\frac {\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}

On dira que X suit une loi du χ non centrée avec k degrés de liberté et de paramètre λ, on notera $X\sim NC\chi _{k}(\lambda )$

Propriétés

La densité de probabilité est donnée par :

f(x;k,\lambda )={\frac {e^{-(x^{2}+\lambda ^{2})/2}x^{k}\lambda }{(\lambda x)^{k/2}}}I_{k/2-1}(\lambda x)

où $I_{\nu }(z)$ est la fonction de Bessel modifiée de première espèce.

Les premiers moments sont :

\mu '_{1}={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}L_{1/2}^{(k/2-1)}\left({\frac {-\lambda ^{2}}{2}}\right)

\mu '_{2}=k+\lambda ^{2}

\mu '_{3}=3{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}L_{3/2}^{(k/2-1)}\left({\frac {-\lambda ^{2}}{2}}\right)

\mu '_{4}=(k+\lambda ^{2})^{2}+2(k+2\lambda ^{2})

où $L_{n}^{(a)}(z)$ est le polynôme de Laguerre généralisé. Il est à remarquer que le deuxième moment est le même que le n-ième moment de la loi du χ² non centrée où le paramètre $\lambda$ est remplacé par $\lambda ^{2}$ .

Liens avec d'autres lois

Si $X$ est une variable aléatoire de loi du χ² non centrée, alors la variable aléatoire $X^{2}$ est une variable aléatoire de loi du χ non centrée.
Si $X$ est de loi du χ, $X\sim \chi _{k}$ , alors $X$ est également de loi du χ non centrée : $X\sim NC\chi _{k}(0)$ . En d'autres termes, la loi du χ est un cas particulier de la loi du χ non centrée avec le paramètre $\lambda =0$ .
La loi du χ non centrée à deux degrés de liberté est similaire à la loi de Rice avec $\sigma =1$ .
Si X suit une loi du χ non centrée avec un degré de liberté et le paramètre λ, alors σX suit une loi normale repliée avec paramètres σλ et σ² pour toute valeur de σ.

Différentes lois du $\chi$ et $\chi ^{2}$
Lois	en fonction de variables de loi normale
loi du χ²	$\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$
loi du χ² non centrée	$\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$
loi du χ	${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$
loi du χ non centrée	${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$

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