Moment (probabilités)

En théorie des probabilités et en statistique, le moment d’ordre $r \in ℕ$ d’une variable aléatoire réelle $X$ est un indicateur de la dispersion de cette variable, à l’instar par exemple de son écart type, la racine carrée du moment centré d’ordre 2.

Le moment dit « ordinaire » d’ordre $r \in ℕ$ est défini, s’il existe, par :

m_{r}\triangleq \mathbb {E} (X^{r})

De manière analogue, on définira d’autres moments, étudiés ou évoqués dans la suite de l’article.

Notion de moment en analyse

La notion de moment en mathématiques, notamment en théorie des probabilités, a pour origine la notion de moment en physique.

Soit une fonction $f : I \to ℝ$ continue sur un intervalle $I$ (non réduit à un point) de $ℝ$ .

Étant donné un entier naturel $r$ , le moment d’ordre $r$ de $f$ est défini, sous réserve d’existence, par :

m_{r}(f)\triangleq \int _{x\in I}x^{r}\,f(x)\,\mathrm {d} x

Critère d’existence

Ce moment d’ordre $r$ est considéré comme existant si et seulement si $x r f (x)$ est intégrable, c’est-à-dire si et seulement si $\int x \in I | x r f (x)| d x$ converge. Ainsi, même si le moment est une intégrale impropre convergente[1], ce moment est tout de même considéré comme non existant.

De cette manière, si un moment n’existe pas à un ordre donné, alors tous les moments d’ordre supérieur n’existent pas non plus. Réciproquement, si un moment existe à un ordre donné, alors tous les moments d’ordre inférieur existent également.

Espace vectoriel

Pour un entier naturel $r$ donné, l’ensemble des fonctions continues sur $I$ dont le moment d’ordre $r$ existe est un espace vectoriel réel, et l’application $m r : f \mapsto m r (f)$ est une forme linéaire sur cet espace vectoriel.

Définitions

Soit $X$ une variable aléatoire réelle définie sur $I$ , de fonction de répartition $F X$ et de loi de probabilité $p$ .

Moment ordinaire

Le moment (ou moment ordinaire, ou moment en 0) d’ordre $r \in ℕ$ de $X$ est défini, s’il existe, par :

m_{r}\triangleq \mathbb {E} (X^{r})

On a donc, d’après le théorème de transfert :

m_{r}=\int _{x\in I}x^{r}\,\mathrm {d} F_{X}(x)

Cette intégrale de Stieltjes peut se réécrire :

si $X$ est discrète : $m_{r}=\sum _{k\in I}k^{r}\,p_{k}$
si $X$ est absolument continue : $m_{r}=\int _{x\in I}x^{r}\,p(x)\,\mathrm {d} x$

D’après le deuxième axiome des probabilités, on a alors $m 0 = 1$ .

On notera que, $p$ étant positive ou nulle sur $I$ (premier axiome des probabilités), le critère d’existence du moment d’ordre $r$ est la convergence de $\sum k \in I | k | r p k$ ou de $\int x \in I | x | r p (x) d x$ selon le cas.

Moment centré

Le moment centré d’ordre $r \in ℕ$ de $X$ est défini, s’il existe, par :

\mu _{r}\triangleq \mathbb {E} ([X-\mathbb {E} (X)]^{r})

On a donc, d’après le théorème de transfert :

\mu _{r}=\int _{x\in I}[x-\mathbb {E} (X)]^{r}\,\mathrm {d} F_{X}(x)

Cette intégrale de Stieltjes peut se réécrire :

si $X$ est discrète : $\mu _{r}=\sum _{k\in I}[k-\mathbb {E} (X)]^{r}\,p_{k}$
si $X$ est absolument continue : $\mu _{r}=\int _{x\in I}[x-\mathbb {E} (X)]^{r}\,p(x)\,\mathrm {d} x$

Par construction, on a alors $μ 0 = 1$ et $μ 1 = 0$ .

D’après le théorème de transfert, on peut également écrire $μ r (X) = m r (X - 𝔼(X))$ .

Moment centré réduit

En posant $μ = m 1$ et $σ = \sqrt μ 2$ , le moment centré réduit d’ordre $r \in ⟦2;+\infty⟦$ de $X$ est défini, s’il existe, par :

\beta _{r-2}\triangleq \mathbb {E} \left[\left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\right)^{r}\right]

On a donc $β r -2 = μ r ⁄ σ r$ et, par construction, $β 0 = 1$ .

Moments remarquables

Certains moments, utilisés couramment pour caractériser une variable aléatoire réelle $X$ , sont connus sous un nom particulier :

l’espérance, moment d’ordre un : $\mu \triangleq m_{1}=\mathbb {E} (X)$ ;
la variance, moment centré d’ordre deux : $\operatorname {V} (X)\triangleq \mu _{2}=\mathbb {E} [(X-\mu )^{2}]$ , ainsi que sa racine carrée l’écart type : $\sigma \triangleq {\sqrt {\operatorname {V} (X)}}={\sqrt {\mu _{2}}}$ ;
le coefficient d’asymétrie, moment centré réduit d’ordre trois[2] : $\gamma _{1}\triangleq \beta _{1}=\mathbb {E} \left[\left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\right)^{3}\right]$ ;
le kurtosis non normalisé, moment centré réduit d’ordre quatre : $\beta _{2}=\mathbb {E} \left[\left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\right)^{4}\right]$ .

Fonction génératrice des moments

La fonction génératrice des moments $M X$ d’une variable aléatoire réelle $X$ est la série génératrice exponentielle associée à la suite $(m r) r \in ℕ$ des moments de $X$ , définie au voisinage de 0 et sous réserve d’existence de tous les moments :

M_{X}(t)\triangleq \sum _{r=0}^{\infty }m_{r}\,{\frac {t^{r}}{r!}}

Elle peut également s’écrire, au voisinage de 0 et sous réserve d’existence de l’espérance :

M_{X}(t)=\mathbb {E} \left(\mathrm {e} ^{tX}\right)

Les dérivées itérées en 0 de cette série génératrice exponentielle valent :

M_{X}^{(r)}(0)=m_{r}

Propriétés

Dimension

Soit $[X]$ la dimension de la variable aléatoire réelle $X$ .

Les moments ordinaire et centré d’ordre $r$ , s’ils existent, ont pour dimension $[X] r$ .

Démonstration

Dans l’écriture $\int x \in I x r d F X (x)$ du moment d’ordre $r$ , la variable $x$ a pour dimension $[X]$ . La mesure de probabilité $ℙ$ étant une grandeur sans dimension, la fonction de répartition $F X$ , définie par $\forall x \in I, F X (x) = ℙ(X \leq x)$ , est également adimensionnelle, de même donc pour son infinitésimal $d F X (x)$ . Donc $m r = \int x \in I x r d F X (x)$ a pour dimension $[X r]$ .

$𝔼(X) = m 1$ ayant pour dimension $[X]$ , c’est également le cas de $x - 𝔼(X)$ , donc $μ r = \int x \in I [x - 𝔼(X)] r d F X (x)$ a également pour dimension $[X r]$ .

Le moment centré réduit d’ordre $r$ , s’il existe, est une grandeur sans dimension.

Démonstration

$μ 2$ ayant pour dimension $[X 2]$ , $σ = \sqrt μ 2$ a pour dimension $[X]$ , donc $β r -2 = μ r ⁄ σ r$ a pour dimension $[X r ⁄ X r] = [1]$ .

Sur les moments ordinaires

Le moment ordinaire d’ordre 1, s’il existe, est linéaire :

\forall (\theta ,\lambda )\in \mathbb {R} ^{2},m_{1}(\theta \,X+\lambda )=\theta \,m_{1}(X)+\lambda

Démonstration

Soit $Λ = {λ}$ la variable aléatoire constante valant $λ$ avec une probabilité 1. La translation de longueur $λ$ des valeurs d’une variable aléatoire correspond à la somme de cette variable aléatoire et de $Λ$ : $θ X + λ ≜ θ X + Λ$ . Sachant que $𝔼(Λ) = λ$ , on a donc, par linéarité de l’espérance :

m_{1}(\theta \,X+\lambda )=\mathbb {E} (\theta \,X+\lambda )=\mathbb {E} (\theta \,X+\Lambda )=\theta \,\mathbb {E} (X)+\mathbb {E} (\Lambda )=\theta \,\mathbb {E} (X)+\lambda =\theta \,m_{1}(X)+\lambda

Le moment ordinaire d’ordre $r > 1$ de $θ X + λ$ , s’il existe, ne s’exprime pas uniquement en fonction du moment d’ordre $r$ de $X$ :

\forall (\theta ,\lambda )\in \mathbb {R} ^{2},m_{r}(\theta \,X+\lambda )=\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i}\,\theta ^{r-i}\,\lambda ^{i}\,m_{r-i}(X)=\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i}\,\theta ^{i}\,\lambda ^{r-i}\,m_{i}(X)

Démonstration

En développant le binôme $(θ X + λ) r$ et par linéarité de l’espérance, on a :

m_{r}(\theta \,X+\lambda )=\mathbb {E} [(\theta \,X+\lambda )^{r}]=\mathbb {E} \left[\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i}\,(\theta \,X)^{i}\,\lambda ^{r-i}\right]=\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i}\,\theta ^{i}\,\lambda ^{r-i}\,\mathbb {E} (X^{i})=\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i}\,\theta ^{i}\,\lambda ^{r-i}\,m_{i}(X).

On retrouve ainsi la linéarité de $m 1$ et la constance de $m 0$ .

Sur les moments centrés

Le moment centré d’ordre $r$ , s’il existe, est invariant par translation et homogène de degré $r$ :

\forall (\theta ,\lambda )\in \mathbb {R} ^{2},\mu _{r}(\theta \,X+\lambda )=\theta ^{r}\,\mu _{r}(X)

Démonstration 1

Sachant que $𝔼(θ X + λ) = θ 𝔼(X) + λ$ (voir transformation affine sur le moment ordinaire d’ordre 1), on a :

(\theta \,X+\lambda )-\mathbb {E} (\theta \,X+\lambda )=\theta \,X+\lambda -\theta \,\mathbb {E} (X)-\lambda =\theta \,[X-\mathbb {E} (X)]

Par linéarité de l’espérance, on a donc :

\mu _{r}(\theta \,X+\lambda )=\mathbb {E} ([\theta \,X+\lambda -\mathbb {E} (\theta \,X+\lambda )]^{r})=\mathbb {E} (\theta ^{r}\,[X-\mathbb {E} (X)]^{r})=\theta ^{r}\,\mathbb {E} ([X-\mathbb {E} (X)]^{r})=\theta ^{r}\,\mu _{r}(X)

Démonstration 2

Sachant que $μ r (X) = m r (X - 𝔼(X))$ , la fonction génératrice des moments centrés de $X$ est donc la fonction génératrice des moments ordinaires de $X - 𝔼(X)$ :

{\mathcal {M}}_{X}(t)=M_{X-\mathbb {E} (X)}(t)=\mathbb {E} \left(e^{t[X-\mathbb {E} (X)]}\right)

Sachant que $(θ X + λ) - 𝔼(θ X + λ) = θ [X - 𝔼(X)]$ (voir démonstration 1), on a donc :

{\mathcal {M}}_{\theta \,X+\lambda }(t)=\mathbb {E} \left(e^{t[(\theta \,X+\lambda )-\mathbb {E} (\theta \,X+\lambda )]}\right)=\mathbb {E} \left(e^{\theta t[X-\mathbb {E} (X)]}\right)={\mathcal {M}}_{X}(\theta t)

Par dérivation itérée de cette fonction composée, on a donc :

{\mathcal {M}}_{\theta \,X+\lambda }^{(r)}(t)=[{\mathcal {M}}_{X}(\theta t)]^{(r)}=\theta ^{r}{\mathcal {M}}_{X}^{(r)}(\theta t)

D’où, en 0 :

\mu _{r}(\theta \,X+\lambda )={\mathcal {M}}_{\theta \,X+\lambda }^{(r)}(0)=\theta ^{r}{\mathcal {M}}_{X}^{(r)}(0)=\theta ^{r}\mu _{r}(X)

Sur les moments centrés réduits

Par transformation affine de coefficient directeur non nul (afin que $σ$ soit non nul), le moment centré réduit d’ordre $r$ , s’il existe, est simplement multiplié par le signe du coefficient directeur élevé à la puissance $r$ :

\forall (\theta ,\lambda )\in \mathbb {R} ^{*}\!\!\times \!\mathbb {R} ,\beta _{r-2}(\theta \,X+\lambda )=\operatorname {sgn}(\theta )^{r}\,\beta _{r-2}(X)

La valeur absolue d’un moment centré réduit est donc invariante par transformation affine de pente non nulle.

Démonstration

L’écart type de $θ X + λ$ vaut :

\sigma _{\theta \,X+\lambda }={\sqrt {\mu _{2}(\theta \,X+\lambda )}}={\sqrt {\theta ^{2}\mu _{2}(X)}}=|\theta |\sigma _{X}

Le moment centré réduit d’ordre $r$ de $θ X + λ$ vaut donc :

\beta _{r-2}(\theta \,X+\lambda )={\frac {\mu _{r}(\theta \,X+\lambda )}{\sigma _{\theta \,X+\lambda }^{\ r}}}={\frac {\theta ^{r}\mu _{r}(X)}{(|\theta |\sigma _{X})^{r}}}=\left({\frac {\theta }{|\theta |}}\right)^{r}{\frac {\mu _{r}(X)}{\sigma _{X}^{r}}}=\operatorname {sgn}(\theta )^{r}\,\beta _{r-2}(X)

En distinguant selon le signe de $θ$ et la parité de $r$ , on peut donc écrire :

\forall (\theta ,\lambda )\in \mathbb {R} ^{*}\!\!\times \!\mathbb {R} ,\beta _{r}(\theta \,X+\lambda )={\begin{cases}\beta _{r}(X)&{\text{si }}\theta >0{\text{ ou }}r{\text{ est pair}}\\-\beta _{r}(X)&{\text{si }}\theta <0{\text{ et }}r{\text{ est impair}}\end{cases}}

Additivité

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles, on a alors :

$m_{1}(X+Y)=m_{1}(X)+m_{1}(Y)$

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, on a en outre :

$\mu _{2}(X+Y)=\mu _{2}(X)+\mu _{2}(Y)$
$\mu _{3}(X+Y)=\mu _{3}(X)+\mu _{3}(Y)$

Cette propriété d’additivité n’existe que pour les trois moments particuliers cités[3]. Les mesures de risque vérifiant cette propriété sont appelés les cumulants.

Moments centrés en fonction des moments ordinaires

Le moment centré d’ordre $r$ , s’il existe, s’écrit :

\mu _{r}=\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i}\,m_{r-i}\,(-m_{1})^{i}=\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i}\,m_{i}\,(-m_{1})^{r-i}

Démonstration

En développant le binôme dans l’expression de $μ r$ et par linéarité de l’espérance, on a :

\mu _{r}=\mathbb {E} [(X-m_{1})^{r}]=\mathbb {E} \left[\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i}\,X^{r-i}\,(-m_{1})^{i}\right]=\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i}\,\mathbb {E} (X^{r-i})\,(-m_{1})^{i}=\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i}\,m_{r-i}\,(-m_{1})^{i}

Puis, en rappelant que $C k n = C n - k n$ , on obtient la seconde écriture par le changement de variable $i \mapsto r - i$ .

En rappelant que $m 0 = 1$ , les premiers moments centrés s’expriment donc, en fonction des moments ordinaires :

\mu _{2}=m_{2}-m_{1}^{2}

\mu _{3}=m_{3}-3\,m_{2}\,m_{1}+2\,m_{1}^{3}

\mu _{4}=m_{4}-4\,m_{3}\,m_{1}+6\,m_{2}\,m_{1}^{2}-3\,m_{1}^{4}

\mu _{5}=m_{5}-5\,m_{4}\,m_{1}+10\,m_{3}\,m_{1}^{2}-10\,m_{2}\,m_{1}^{3}+4\,m_{1}^{5}

\mu _{6}=m_{6}-6\,m_{5}\,m_{1}+15\,m_{4}\,m_{1}^{2}-20\,m_{3}\,m_{1}^{3}+15\,m_{2}\,m_{1}^{4}-5\,m_{1}^{6}

Moments ordinaires en fonction des moments centrés

Réciproquement, en posant $μ = 𝔼(X)$ , le moment ordinaire d’ordre $r$ , s’il existe, s’écrit :

m_{r}=\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i}\,\mu _{r-i}\,\mu ^{i}=\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i}\,\mu _{i}\,\mu ^{r-i}

Démonstration

En développant le binôme dans l’expression de $m r$ et par linéarité de l’espérance, on a :

m_{r}=\mathbb {E} (X^{r})=\mathbb {E} [(X-\mu +\mu )^{r}]=\mathbb {E} \left[\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i}\,(X-\mu )^{r-i}\,\mu ^{i}\right]=\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i}\,\mathbb {E} [(X-\mu )^{r-i}]\,\mu ^{i}=\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i}\,\mu _{r-i}\,\mu ^{i}

Puis, en rappelant que $C k n = C n - k n$ , on obtient la seconde écriture par le changement de variable $i \mapsto r - i$ .

En rappelant que $μ 0 = 1$ et $μ 1 = 0$ , les premiers moments ordinaires s’expriment donc, en fonction des moments centrés et de $μ$ :

m_{2}=\mu _{2}+\mu ^{2}

m_{3}=\mu _{3}+3\,\mu _{2}\,\mu +\mu ^{3}

m_{4}=\mu _{4}+4\,\mu _{3}\,\mu +6\,\mu _{2}\,\mu ^{2}+\mu ^{4}

m_{5}=\mu _{5}+5\,\mu _{4}\,\mu +10\,\mu _{3}\,\mu ^{2}+10\,\mu _{2}\,\mu ^{3}+\mu ^{5}

m_{6}=\mu _{6}+6\,\mu _{5}\,\mu +15\,\mu _{4}\,\mu ^{2}+20\,\mu _{3}\,\mu ^{3}+15\,\mu _{2}\,\mu ^{4}+\mu ^{6}

Estimateur non biaisé des moments ordinaires

À partir d’un échantillon ${X 1, X 2, \dots, X n}$ de la variable aléatoire réelle $X$ , on peut utiliser comme estimateur sans biais du moment ordinaire d’ordre $r$ , s’il existe, l’estimateur suivant :

{\hat {m_{r}}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{\ r}

Problème des moments

Tandis que le calcul des moments consiste à déterminer les moments $m r$ d’une loi de probabilité $p$ donnée, le problème des moments consiste inversement à étudier l’existence et l’unicité d’une loi de probabilité $p$ dont les moments $m r$ sont donnés.

Extension de la notion de moment

Sur le modèle des moments $𝔼(X r)$ , d’autres moments peuvent être définis :

le moment inverse en 0 d’ordre $r$ sur $I ∌ 0$ : $\mathbb {E} (X^{-r})$ ;
le moment logarithmique d’ordre $r$ sur $I \subset ℝ * +$ : $\mathbb {E} \left[\ln ^{r}(X)\right]$ ;
le moment factoriel d’ordre $r$ : $\mathbb {E} \left[(X)_{r}\right]$ (factorielle décroissante).

Notes et références

Ce cas arrive par exemple pour les moments d’ordre impair d’une fonction paire définie sur $ℝ$ : même si $\int x \inℝ | x r f (x)| d x$ diverge, la fonction $x \mapsto x r f (x)$ est impaire donc a une primitive paire, d’où $\forall t \in ℝ, \int t - t x r f (x) d x = 0$ , donc $\int x \inℝ x r f (x) d x$ est une intégrale impropre convergente valant 0.
Pour des raisons historiques et en accord avec la notation des cumulants réduits, le coefficient d’asymétrie est noté $γ 1$ plutôt que $β 1$ .
Formellement parlant, sachant que $μ 1 = 0$ , on pourrait ajouter le cas dégénéré $μ 1 (X + Y) = μ 1 (X) + μ 1 (Y)$ , mais cela n’apporte aucune information utile à l’étude de $X + Y$ .

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[1] Ce cas arrive par exemple pour les moments d’ordre impair d’une fonction paire définie sur $ℝ$ : même si $\int x \inℝ | x r f (x)| d x$ diverge, la fonction $x \mapsto x r f (x)$ est impaire donc a une primitive paire, d’où $\forall t \in ℝ, \int t - t x r f (x) d x = 0$ , donc $\int x \inℝ x r f (x) d x$ est une intégrale impropre convergente valant 0.

[2] Pour des raisons historiques et en accord avec la notation des cumulants réduits, le coefficient d’asymétrie est noté $γ 1$ plutôt que $β 1$ .

[3] Formellement parlant, sachant que $μ 1 = 0$ , on pourrait ajouter le cas dégénéré $μ 1 (X + Y) = μ 1 (X) + μ 1 (Y)$ , mais cela n’apporte aucune information utile à l’étude de $X + Y$ .