Loi de composition

Les lois de composition internes (parfois appelées « lois internes ») sont des applications de E × E → E. Elles servent à définir les structures algébriques étudiées en algèbre générale : les groupes, les anneaux, les corps, etc.

Une loi de composition interne peut avoir différentes propriétés: commutativité, associativité, etc.

• l'addition dans ${\displaystyle \mathbb {N} }$, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ou ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• la multiplication dans ${\displaystyle \mathbb {N} }$, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ou ${\displaystyle \mathbb {C} }$.
• toute loi d'un groupe abélien
• toute loi additive d'un anneau
• toute loi additive d'un corps
• toute loi additive d'un espace vectoriel
• toute loi multiplicative d'un anneau commutatif
• toute loi multiplicative d'un corps commutatif

• la soustraction dans ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ou ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• la division dans ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}}$, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$ ou ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$
• la multiplication des matrices
• la composition de fonctions
• toute loi d'un groupe
• toute loi multiplicative d'un anneau
• toute loi multiplicative d'un corps

Les lois de composition externes (parfois appelées « lois externes ») sont des applications de F × E → E. Elles servent elles aussi à définir les structures algébriques étudiées en algèbre générale.

Mais contrairement à une loi de composition interne, une loi de composition externe fait intervenir des éléments de l’extérieur, appelés opérateurs ou scalaires. Une loi de composition externe peut donc être vue comme une opération de F sur E. On dit alors que « F opère sur E ».

• L'exponentiation entière des réels est une loi de ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {N} }$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• Pour tout K-espace vectoriel E, la multiplication d'un vecteur par un scalaire est une loi de K×E dans E.