Démonstration des lois de Kepler

Pour simplifier, prenons le Soleil comme origine du référentiel, l'axe z perpendiculaire à la droite passant par le Soleil et la planète est perpendiculaire à la direction de la vitesse de la planète au temps t = 0. L'axe x dans la direction correspondant à la distance la plus petite entre le Soleil et la planète. La distance la plus grande entre le Soleil et la planète sera dans la direction -x.

• ${\displaystyle M\,}$: la masse du Soleil.
• ${\displaystyle m\,}$ : la masse de la planète.
• ${\displaystyle O\,}$ : la position du Soleil. C'est l'origine du référentiel.
• ${\displaystyle P\,}$ : la position de la planète.
• ${\displaystyle t=0\,}$: l'instant où la planète se trouve le plus proche du Soleil.
• ${\displaystyle {P_{0}}\,}$: la position de la planète au temps ${\displaystyle t=0\,}$.

Elle s'appelle le périhélie. C'est le point de la trajectoire près de Hélios; soit le plus proche du Soleil.

• ${\displaystyle {\overrightarrow {r}}={\overrightarrow {OP}}}$ : le vecteur allant du Soleil à la planète.
• ${\displaystyle r=\|{\overrightarrow {r}}\|=\|{\overrightarrow {OP}}\|}$ = la distance du Soleil à la planète.
• ${\displaystyle {\overrightarrow {r_{0}}}={\overrightarrow {OP_{0}}}}$ : le vecteur allant du Soleil à la planète au temps ${\displaystyle t=0\,}$.
• ${\displaystyle {\overrightarrow {V}}}$ : la vitesse de la planète.
• ${\displaystyle {\overrightarrow {V_{0}}}}$ : la vitesse de la planète au temps ${\displaystyle t=0\,}$.
• ${\displaystyle {\overrightarrow {F}}}$ : la force d'attraction de la planète par le Soleil.
• ${\displaystyle {\overrightarrow {L}}=m\cdot {\overrightarrow {r}}\wedge {\overrightarrow {V}}}$ : le moment cinétique relativement à l'origine où se trouve le Soleil.

C.f. le produit vectoriel "${\displaystyle \wedge \,}$" pour des informations sur cet opérateur.

Dans un référentiel immobile par rapport au Soleil, la trajectoire d'une planète se trouve dans un plan.

• Démonstration :

Cela résulte du fait que le Soleil attire la planète selon une force centrale. C'est-à-dire une force qui est toujours dirigée de la planète vers le Soleil.

En effet, étant données une position ${\displaystyle {\overrightarrow {r_{0}}}}$ et une vitesse ${\displaystyle {\overrightarrow {V_{0}}}}$ initiales, cela définit un plan. Selon nos conventions ci-dessus, c'est le plan passant par l'origine O, contenant les axes x et y.

Puisque la force est centrale, elle et l'accélération sont dans une direction se trouvant dans ce même plan. Donc les variations de vitesses et les variations de positions resteront dans ce même plan. En conclusion toute la trajectoire restera dans ce plan.

La deuxième loi de Kepler donnera une deuxième démonstration de cette partie.

La planète prendra le même temps à parcourir la trajectoire rouge qu'elle en prendra pour parcourir la trajectoire bleue car les aires A et B sont égales.

Soit A(t) l'aire de la surface balayée par le rayon vecteur ${\displaystyle {\vec {r}}}$ durant le mouvement, alors cette seconde loi stipule que des aires égales sont balayées dans des temps égaux.

${\displaystyle A(t)={\frac {\|{\vec {L}}\|}{2\cdot m}}\cdot t}$

• Démonstration :

En dérivant le moment cinétique ${\displaystyle {\overrightarrow {L}}=m\cdot {\overrightarrow {r}}\wedge {\overrightarrow {V}}}$ par rapport au temps, on obtient :

${\displaystyle {\frac {d{\overrightarrow {L}}}{dt}}=m\cdot {\overrightarrow {V}}\wedge {\overrightarrow {V}}+m\cdot {\overrightarrow {r}}\wedge {\frac {1}{m}}{\overrightarrow {F}}}$ qui vaut 0.

Donc le moment cinétique est un vecteur constant. Cela résulte du fait que la force est centrale (voir mouvement à force centrale)

D'autre part : ${\displaystyle {\frac {\|{\vec {L}}\|}{m}}=r\cdot V\cdot \sin(\alpha )=2\cdot {\frac {dA(t)}{dt}}}$^{[pourquoi ?]} où ${\displaystyle V=\|{\vec {V}}\|}$ et ${\displaystyle \alpha }$ désigne l'angle entre ${\displaystyle {\vec {r}}}$ et ${\displaystyle {\vec {V}}}$.

En conséquence : ${\displaystyle A(t)={\frac {\|{\vec {L}}\|}{2\cdot m}}\cdot t}$

Autre démonstration purement mathématique:

En notant ${\displaystyle (x(t),y(t))}$ la position du point M à l'instant t, l'aire balayée par le rayon vecteur ${\displaystyle {\vec {r}}}$ pendant le temps t est l'aire du domaine délimité par la trajectoire du point M pendant cette même durée, cette aire vaut d'après la formule de Green-Riemann, ${\displaystyle A(t)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}(x(t)y'(t)-y(t)x'(t))dt}$. (La contribution des autres courbes délimitant le domaine sont bien évidemment nulles, il s'agit d'un segment de l'axe (Ox) et d'une droite passant par l'origine.

En remarquant que: ${\displaystyle x(t)y'(t)-y(t)x'(t)=x^{2}(t){\frac {d}{dt}}\left({\frac {y(t)}{x(t)}}\right)}$, il vient:

${\displaystyle A(t)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}x^{2}(t){\frac {d}{dt}}\left({\frac {y(t)}{x(t)}}\right)dt}$.

En posant: ${\displaystyle x(t)=r(t)\cos(\theta (t)),y(t)=r(t)\sin(\theta (t))}$, il vient alors:

${\displaystyle A(t)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}r^{2}(t)\cos ^{2}(\theta (t)){\frac {d}{dt}}(\tan(\theta (t)))dt={\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}r^{2}(t){\frac {d\theta (t)}{dt}}dt}$.

Or, dans le cas d'un mouvement à force centrale: ${\displaystyle r^{2}(t){\frac {d\theta }{dt}}={\frac {L}{m}}}$, d'où finalement: ${\displaystyle A(t)={\frac {\|{\vec {L}}\|}{2\cdot m}}\cdot t}$.

Dans un référentiel immobile par rapport au Soleil, la trajectoire d'une planète est elliptique, un foyer étant le Soleil. Le Soleil n'est un des foyers qu'approximativement, du fait que sa masse M est très supérieure à celle de la masse m de la planète. Pour être exact, il faudrait se placer au centre de gravité du système Soleil-planète.

• Démonstration :

Ce fait est directement lié au fait que l'hodographe est un cercle dans le cas de l'attraction universelle de Newton.

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

${\displaystyle {\frac {d{\vec {V}}}{dt}}=-{\frac {G\cdot M}{r^{2}}}\cdot {\hat {r}}}$     où     ${\displaystyle {\hat {r}}={\frac {\vec {r}}{r}}}$.

Par changement de variable, on a :

${\displaystyle {\frac {d{\vec {V}}}{d\theta }}\cdot {\frac {d\theta }{dt}}=-{\frac {G\cdot M}{r^{2}}}\cdot {\hat {r}}}$.

Rappelons l'expression de la loi des aires obtenue au paragraphe précédent : ${\displaystyle A(t)={\frac {\|{\vec {L}}\|}{2\cdot m}}\cdot t}$.

Ainsi, l'aire balayée pendant un temps ${\displaystyle dt\,}$ égale ${\displaystyle {\frac {\|{\vec {L}}\|}{2\cdot m}}\cdot dt}$. Or cette aire vaut ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot r^{2}\cdot d\theta }$.

Donc ${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}={\frac {\|{\vec {L}}\|}{m\cdot r^{2}}}}$.

En combinant ces deux relations, on obtient :${\displaystyle {\frac {d{\vec {V}}}{d\theta }}=-{\frac {G\cdot M\cdot m}{\|{\vec {L}}\|}}\cdot {\hat {r}}}$

D'où en intégrant par rapport à ${\displaystyle \theta }$ : ${\displaystyle {\vec {V}}={\frac {G\cdot M\cdot m}{\|{\vec {L}}\|}}\cdot {\hat {\theta }}+{\vec {V}}_{0}}$    car    ${\displaystyle {\frac {d{\hat {\theta }}}{d\theta }}=-{\hat {r}}}$.

${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ = le vecteur unité perpendiculaire à ${\displaystyle {\hat {r}}}$ dans le plan de la trajectoire, dirigé dans le sens le plus proche de celui de la vitesse.

Ce résultat s'appelle : théorème de Hermann, Laplace, Runge, Lenz, Hamilton : cf. vecteur de Runge-Lenz.

L'hodographe est un cercle excentré par rapport à l'origine des vitesses. Il en résulte que la trajectoire est une conique : si l'origine des vitesses est à l'intérieur du cercle, la conique est une ellipse ; si elle est à l'extérieur, c'est une hyperbole ; cas limite : une parabole. Ce théorème de cinématique est très vieux, mais on l'attribue à tort à Hamilton ; il était encore enseigné dans le cours de cosmographie de « math-élem » (terminale S actuelle) : cf. par exemple Lebossé, cours de mathématiques élémentaires. On va en donner la démonstration due à Edmund Landau, très algébrique :

Le théorème précédent se réécrit après multiplication vectorielle par ${\displaystyle {\frac {\vec {L}}{G\cdot M\cdot m}}}$ et simplifications :

${\displaystyle {\frac {{\vec {V}}\wedge {\vec {L}}}{G\cdot M\cdot m}}={\frac {1}{\|{\vec {L}}\|}}\cdot {\vec {\theta }}\wedge {\hat {L}}+{\frac {{\vec {V}}_{0}\wedge {\vec {L}}}{G\cdot M\cdot m}}={\hat {r}}+{\vec {e}}}$.

${\displaystyle {\vec {e}}}$ s'appelle le vecteur d'excentricité. Il est constant car ${\displaystyle {\vec {L}}}$ est constant, tel que montré plus haut.

Puis en effectuant le produit scalaire avec ${\displaystyle {\vec {r}}}$ et en simplifiant :

${\displaystyle e\cdot r\cdot cos(\theta )=p-r}$, avec ${\displaystyle p={\frac {L^{2}}{G\cdot M\cdot m^{2}}}}$,

soit ${\displaystyle r={\frac {p}{1+e\cdot cos(\theta )}}}$,

ce qui est la définition focale d'une conique en coordonnées polaires, d'excentricité ${\displaystyle e={\frac {c}{a}}}$ et de paramètre ${\displaystyle p={\frac {b^{2}}{a}}}$, d'angle polaire ayant pour origine le périhélie, comme il est usuel de le faire.

Si l'on prend l'aphélie comme origine : ${\displaystyle r={\frac {p}{1-e\cdot cos(\theta )}}}$.

Illustration de la relation entre le rayon orbital et la période orbitale.

Le carré de la période ${\displaystyle T\,}$ varie comme le cube du demi-grand axe ${\displaystyle a\,}$ : ${\displaystyle {\frac {a^{3}}{T^{2}}}={\frac {G\cdot M}{4\cdot \pi ^{2}}}}$

${\displaystyle G\cdot M}$ s'appelle la constante gravitationnelle de Gauss : elle est connue avec une extraordinaire précision, dix chiffres significatifs et vaut ${\displaystyle 0{,}01720209895\,rad/j}$ (alors que G n'est connue qu'avec 5 chiffres significatifs).

Démonstration :

• En utilisant : ${\displaystyle A(T)=\pi \cdot a\cdot b={\frac {L}{2\cdot m}}\cdot T}$   et   ${\displaystyle p={\frac {b^{2}}{a}}={\frac {L^{2}}{G\cdot M\cdot m^{2}}}}$,

puis en éliminant ${\displaystyle L\,}$ entre ces égalités, on obtient le résultat annoncé.

Par conséquent, toutes les ellipses de même grand axe, quelle que soit leur excentricité ${\displaystyle e\,}$, ont la même période de révolution jusqu'à la circulaire où ${\displaystyle e=0\,}$.