Mécanique hamiltonienne

En mécanique lagrangienne, les équations du mouvement d'un système à N degrés de liberté dépendent des coordonnées généralisées ${\displaystyle \left\{q_{i}\right\}_{i=1,...,N}}$ et des vitesses correspondantes ${\displaystyle \left\{{\dot {q}}_{i}\right\}_{i=1,...,N}}$, où ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\dfrac {dq_{i}}{dt}}}$.

Le lagrangien peut donc s'écrire formellement comme une fonction : ${\displaystyle {\mathcal {L}}(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)}$, les variables indexées représentant les ${\displaystyle N}$ variables de ce type.

En mécanique hamiltonienne, chaque vitesse généralisée est remplacée par la quantité de mouvement associée, aussi appelée moment conjugué ou encore impulsion généralisée :

${\displaystyle p_{i}\ \equiv \ {\partial {\mathcal {L}} \over \partial {\dot {q}}_{i}}}$

En coordonnées cartésiennes, les quantités de mouvement sont équivalentes aux moments linéaires, alors qu'en coordonnées polaires elles correspondent aux moments angulaires. Lorsque les coordonnées généralisées sont choisies arbitrairement, il n'est plus possible de donner une interprétation intuitive aux moments conjugués.

L'hamiltonien ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ est la transformée de Legendre du lagrangien :

${\displaystyle {\mathcal {H}}\left(q_{i},p_{i},t\right)\ =\ \sum _{k}^{N}{\dot {q}}_{k}\ p_{k}-{\mathcal {L}}(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)}$

Dans le membre de droite de cette formule, les vitesses sont supposées être exprimées en fonction des moments conjugués.

Si les équations qui définissent les coordonnées généralisées sont indépendantes du temps ${\displaystyle t}$, on peut montrer que ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ est égal à l'énergie totale ${\displaystyle E}$, elle-même étant égale à la somme de l'énergie cinétique ${\displaystyle T}$ et de l'énergie potentielle ${\displaystyle V}$ (${\displaystyle {\mathcal {H}}=E=T+V}$).

Sous forme différentielle, les deux membres de la définition de ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ deviennent :

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {d} {\mathcal {H}}&=&\sum _{i}\left[\left({\partial {\mathcal {H}} \over \partial q_{i}}\right)\mathrm {d} q_{i}+\left({\partial {\mathcal {H}} \over \partial p_{i}}\right)\mathrm {d} p_{i}\right]+\left({\partial {\mathcal {H}} \over \partial t}\right)\mathrm {d} t\\\mathrm {d} {\mathcal {H}}&=&\sum _{i}\left[{\dot {q}}_{i}\mathrm {d} p_{i}+p_{i}\mathrm {d} {\dot {q}}_{i}-\left({\partial {\mathcal {L}} \over \partial q_{i}}\right)\mathrm {d} q_{i}-\left({\partial {\mathcal {L}} \over \partial {\dot {q}}_{i}}\right)\mathrm {d} {\dot {q}}_{i}\right]-\left({\partial {\mathcal {L}} \over \partial t}\right)\mathrm {d} t\end{matrix}}}$

En utilisant la définition des moments conjugués donnée précédemment et les équations d'Euler Lagrange traduisant le principe de l'action minimale du lagrangien, on obtient les équations du mouvement de Hamilton, dites équations canoniques de Hamilton :

${\displaystyle {\dot {q}}_{i}\ =\ {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\quad$ ;\qquad {\dot {p}}_{i}\ =\ -{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}\quad ;\qquad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\ =\ {\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} t}}\ =\ -\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}}

Note: l'égalité ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} t}}=-\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}}$ se démontre comme suit:

Où on a utilisé pour la dernière égalité la définition des moments conjugués et les équations d'Euler Lagrange.

Les équations de Hamilton sont des équations différentielles du premier ordre et donc plus faciles à résoudre que les équations de Lagrange qui sont du second ordre. Néanmoins, les étapes qui conduisent à ces équations sont plus complexes que celles de la mécanique lagrangienne : à partir des coordonnées généralisées et du lagrangien, il faut calculer l'hamiltonien, exprimer les vitesses généralisées en fonction des moments conjugués et remplacer celles-ci dans la définition de l'hamiltonien.

La méthode de Lagrange est moins lourde en termes de manipulations mathématiques. L'avantage principal de l'approche hamiltonienne est de fournir, grâce à la simplicité de son formalisme, un fondement théorique en mécanique. Par exemple, la mécanique quantique utilise un formalisme basé sur celui de la mécanique hamiltonienne.

On pourra aussi noter une certaine similitude entre les équations canoniques de Hamilton et les équations de Maxwell.

Soit une particule non relativiste de masse ${\displaystyle m}$ se déplaçant sur un axe. On repère la position de cette particule par une coordonnée ${\displaystyle q}$. Supposons de plus que la particule est soumise à une force qui dérive de l'énergie potentielle ${\displaystyle V(q)}$. Le lagrangien s'écrit alors :

${\displaystyle {\mathcal {L}}(q,{\dot {q}})\ =\ {\frac {1}{2}}\,m\,{\dot {q}}^{2}\ -\ V(q)}$

Le moment conjugué vaut alors :

${\displaystyle p\ =\ {\partial {\mathcal {L}} \over \partial {\dot {q}}}\ =\ m\,{\dot {q}}}$

il s'identifie à la quantité de mouvement habituelle. Cette formule peut être inversée :

${\displaystyle {\dot {q}}\ =\ {\frac {p}{m}}}$

On obtient alors le hamiltonien par transformée de Legendre :

${\displaystyle {\mathcal {H}}(q,p)\ =\ {\frac {p^{2}}{2m}}\ +\ V(q)}$

Les équations canoniques conduisent alors à :

${\displaystyle {\dot {q}}\ =\ {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p}}\ =\ {\frac {p}{m}}}$

et à l'équation de la dynamique de Newton :

${\displaystyle {\dot {p}}\ =\ -\ {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q}}\quad \Longrightarrow \quad m\,{\ddot {q}}\ =\ -\ {\frac {\partial V}{\partial q}}}$

Considérons un système à ${\displaystyle N}$ degrés de liberté décrits à l'instant ${\displaystyle t}$ par :

• les ${\displaystyle N}$ coordonnées généralisées ${\displaystyle q_{i}(t)\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle (i=1,\dots ,N)}$. On peut voir ces coordonnées comme les composantes d'un vecteur de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$.

• les ${\displaystyle N}$ moments conjugués ${\displaystyle p_{i}(t)\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle (i=1,\dots ,N)}$. On peut également voir ces coordonnées comme les composantes d'un autre vecteur de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$.

À chaque instant, les ${\displaystyle 2N}$ coordonnées ${\displaystyle (q_{i}(t),p_{i}(t))}$ définissent un point ${\displaystyle x(t)}$ dans l'espace des phases ${\displaystyle \Gamma =\mathbb {R} ^{N}\times \mathbb {R} ^{N}=\mathbb {R} ^{2N}}$ à ${\displaystyle 2N}$ dimensions.

Considérons un système à ${\displaystyle N}$ degrés de liberté dont les ${\displaystyle N}$ coordonnées généralisées ${\displaystyle q_{i}(t)}$ précisent la position d'un point ${\displaystyle p}$ sur une variété différentielle ${\displaystyle M}$ à ${\displaystyle N}$ dimensions. Le moment conjugué ${\displaystyle p_{j}(t)}$ est alors un élément de l'espace cotangent ${\displaystyle T_{p}^{\star }M}$ dans la direction ${\displaystyle j}$.

À chaque instant, les ${\displaystyle 2N}$ coordonnées ${\displaystyle (q_{i}(t),p_{j}(t))}$ définissent dans ce cas un point ${\displaystyle x(t)}$ dans l'espace des phases ${\displaystyle \Gamma =T^{\star }M}$ qui s'identifie à l'espace fibré cotangent à 2N dimensions. Cet espace des phases est naturellement muni de la forme symplectique ${\displaystyle \omega \,}$ définie par :

${\displaystyle \omega =\sum _{i}{\rm {d}}q_{i}\wedge {\rm {d}}p_{i}}$

Le flot hamiltonien préserve la mesure de Liouville sur l'espace des phases. Lorsque celui-ci est euclidien, cette mesure invariante sous le flot est simplement la mesure de Lebesgue sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2N}}$ :

${\displaystyle \mathrm {d} \mu _{L}\ =\ \prod _{k=1}^{N}\mathrm {d} q_{k}\,\mathrm {d} p_{k}}$

La démonstration de ce théorème repose sur le fait que la divergence de la « vitesse » dans l'espace des phases est nulle :

${\displaystyle \mathrm {div} \ {\vec {v}}\ =\ \sum _{k=1}^{N}\left[\ {\frac {\partial {\dot {q}}_{k}}{\partial q_{k}}}\ +\ {\frac {\partial {\dot {p}}_{k}}{\partial p_{k}}}\ \right]\ =\ 0}$

où on a utilisé les équations canoniques pour conclure. Autrement dit, le « fluide hamiltonien » dans l'espace des phases est incompressible.

Un système hamiltonien invariant par translation dans le temps satisfait toujours à la conservation de l'énergie :

${\displaystyle \forall \ t,\quad {\mathcal {H}}(q_{i}(t),p_{i}(t))\ =\ E}$

de telle sorte que sa dynamique est en fait toujours restreinte à une hypersurface ${\displaystyle \scriptstyle S_{E}\subset \Gamma }$ à ${\displaystyle 2N-1}$ dimensions. Dans ce cas, la mesure de Liouville invariante sous le flot dans l'espace des phases induit une mesure invariante sous le flot sur l'hypersurface d'énergie constante, définie par :

${\displaystyle \mathrm {d} \mu _{S}\ =\ {\frac {\mathrm {d} \Sigma }{\|\mathbf {grad} \ H\|}}}$

où ${\displaystyle \mathrm {d} \Sigma }$ est la mesure sur l'hypersurface ${\displaystyle \scriptstyle S}$ induite par la métrique sur l'espace des phases.

Il peut exister d'autres constantes du mouvement indépendantes de l'énergie en plus de celle-ci. Lorsqu'un système invariant par translation défini sur ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{2N}}$dans le temps possède ${\displaystyle N}$ constantes du mouvement indépendantes, on dit qu'il est intégrable. Sa dynamique est alors particulièrement simple.