Méthode de Galerkine

L'erreur ${\displaystyle e_{h}=u-u_{h}}$ est montrée ici orthogonale à l'espace d'approximation ${\displaystyle V_{h}}$

L'une des propriétés notables des méthodes de Galerkine se trouvent dans le fait que l'erreur commise sur la solution ${\displaystyle e_{h}=u-u_{h}}$ est orthogonale aux sous-espaces d'approximation. En effet, les propriétés de la forme bilinéaire a donnent :

${\displaystyle \forall v_{h}\in V_{h}\ ,\ a(e_{h},v_{h})=a(u-u_{h},v_{h})=a(u,v_{h})-a(u_{h},v_{h})=L(v_{h})-L(v_{h})=0}$.

Du fait que l'espace d'approximation utilisé ${\displaystyle V_{h}}$ est de dimension finie ${\displaystyle n<+\infty }$, on peut décomposer la solution du problème de Galerkine sur une base de fonctions ${\displaystyle \left\lbrace e_{i}\right\rbrace _{1\leqslant i\leqslant n}}$ de ${\displaystyle V_{h}}$ :

${\displaystyle u_{h}=\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j}}$

Ainsi, en écrivant le problème en choisissant l'une des fonctions de base ${\displaystyle v_{h}=e_{i}}$, il vient :

${\displaystyle a(u_{h},e_{i})=\sum _{j=1}^{n}u_{j}a(e_{j},e_{i})=L(e_{i})\ ,\ \forall i\in [\![1,n]\!]}$

On obtient ainsi un système d'équations linéaires de la forme ${\displaystyle Au=l}$, en notant

${\displaystyle A=\left(a(e_{j},e_{i})\right)_{1\leqslant i,j\leqslant n}}$, ${\displaystyle u=\left(u_{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant n}}$, ${\displaystyle l=\left(L(e_{i})\right)_{1\leqslant i\leqslant n}}$

Il apparait que si la forme bilinéaire a est symétrique, la matrice A est également symétrique. De même, A est une matrice positive (définie positive) si a l'est également.

Existence et unicité

Dans le cas où a est symétrique, on peut montrer que la solution du problème existe et est unique si on a :

• continuité de a sur ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \forall (u,v)\in V\times V,\,|a(u,v)|\leqslant C\|u\|\|v\|}$

• coercivité de a sur ${\displaystyle V_{h}}$

${\displaystyle \forall u\in V,\,a(u,u)\geqslant c\|u\|^{2}}$

Il suffit alors d'appliquer le théorème de Lax-Milgram pour obtenir le résultat voulu.

Le caractère bien posé du problème écrit sur ${\displaystyle V_{h}}$ en découle naturellement.

Qualité de l'approximation

En utilisant les mêmes propriétés de a, ainsi que l'orthogonalité de l'erreur, on obtient l'inégalité pour tout ${\displaystyle v_{h}\in V_{h}}$ :

${\displaystyle c\|u-u_{h}\|^{2}\leqslant a(u-u_{h},u-u_{h})\leqslant a(u-u_{h},u-v_{h})\leqslant C\|u-u_{h}\|\|u-v_{h}\|}$.

En divisant par ${\displaystyle \|u-u_{h}\|}$ et en passant à la borne inférieure à droite, on obtient le lemme de Céa :

${\displaystyle \|u-u_{h}\|\leqslant {\frac {C}{c}}\inf _{v_{h}\in V_{h}}\|u-v_{h}\|}$

Ainsi, à la constante C/c près, la solution obtenue par la méthode de Galerkine est une des meilleures qu'on puisse obtenir par approximation sur ${\displaystyle V_{h}}$.