Méthode de la sécante

La méthode de la sécante est une méthode comparable à celle de Newton, où l'on remplace ${\displaystyle f'(x_{n})\,}$ par ${\displaystyle {\frac {f(x_{n})-f(x_{n-1})}{x_{n}-x_{n-1}}}.}$ On obtient la relation de récurrence :

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}}f(x_{n}).}$

L'initialisation nécessite deux points x₀ et x₁, proches, si possible, de la solution recherchée. Il n'est pas nécessaire que x₀ et x₁ encadrent une racine de f. La méthode de la sécante peut aussi être vue comme une généralisation de la méthode de la fausse position, où les calculs sont itérés.

Démonstration

La courbe rouge représente la fonction f et le segment en bleu, la sécante.

Illustration des deux premières itérations, pour une autre courbe (ici, la méthode va diverger car x₀ et x₁ sont choisis trop loin de la solution).

Étant donnés a et b, on construit la droite passant par (a, f(a)) et (b, f(b)). Son équation est :

${\displaystyle y-f(b)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-b).}$

On choisit c égal à l'abscisse du point d'ordonnée y = 0 de cette droite :

${\displaystyle f(b)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(c-b)=0.}$

Si l'on extrait c de cette équation, on retrouve la relation de récurrence citée plus haut :

${\displaystyle c=b-{\frac {b-a}{f(b)-f(a)}}f(b),}$

avec

${\displaystyle c=x_{n+1},\,b=x_{n},\,a=x_{n-1}.}$

Si les valeurs initiales x₀ et x₁ sont suffisamment proches de la solution, la méthode aura un ordre de convergence de

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\simeq 1,618}$ qui est le nombre d'or[1].

On peut démontrer ce résultat sous l'hypothèse que la fonction f soit deux fois continûment différentiable et la solution soit une racine simple de f.

Aucune de ces deux conditions n'est cependant nécessaire, ni pour appliquer la méthode, ni pour en assurer la convergence. La méthode ne peut certes pas s'appliquer si la fonction ne présente pas de changement de signe entre x₀ et x₁ (ex. : f(x) = x² entre -1 et 1). Cependant, pour toute fonction continue qui présente un changement de signe et admet une unique racine dans l'intervalle considéré, la méthode s'applique et converge au moins linéairement. Il n'est pas nécessaire que f soit dérivable : la méthode peut s'appliquer à une fonction continue nulle part dérivable telle que la fonction de Weierstrass.

• Méthode de Newton
• Méthode de la fausse position
• Interpolation linéaire

Jean Dieudonné, Calcul infinitésimal [détail des éditions], chap. II

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