Méthode des moments (probabilité)

En mathématiques et plus particulièrement en théorie des probabilités, la méthode des moments consiste à prouver une convergence en loi en démontrant la convergence de tous les moments[1].

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Soit X une variable aléatoire réelle dont tous les moments existent, c'est-à-dire

${\displaystyle \operatorname {E} |X^{k}|<\infty ~~~\forall k\geq 1}$.

Supposons que la loi de X soit complètement déterminée par ses moments, c'est-à-dire que si Y est une autre variable aléatoire telle que

${\displaystyle \mathbb {E} [X^{k}]=\mathbb {E} [Y^{k}]~~\forall k\geq 1}$

alors X et Y ont la même loi.

Sous ces conditions, si (X_n) est une suite de variables aléatoires telle que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {E} [X_{n}^{k}]=\operatorname {E} [X^{k}]}$

pour toutes les valeurs de k, alors la suite (X_n) converge en loi vers X.

La méthode des moments a été introduite par Pafnuty Chebyshev pour prouver le théorème central limite ; Chebyshev a cité des contributions antérieures d'Irénée-Jules Bienaymé[2]. Plus récemment, elle a été appliquée par Eugene Wigner pour prouver la loi du demi-cercle et a depuis trouvé de nombreuses applications dans la théorie des matrices aléatoires[3].