Loi du demi-cercle

La densité de probabilité de la loi du demi-cercle est :

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\displaystyle {2 \over \pi R^{2}}{\sqrt {R^{2}-x^{2}\,}}&{\hbox{ pour }}-R<x<R,\\0.&{\hbox{ sinon.}}\end{cases}}}$

La fonction de répartition de la loi du demi-cercle est :

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\hbox{ pour }}x<-R,\\\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {x{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}{\pi R^{2}}}+{\frac {\arcsin \!\left({\frac {x}{R}}\right)}{\pi }}&{\hbox{ pour }}-R<x<R,\\1&{\hbox{ pour }}x>R.\end{cases}}}$

Pour tout entier n, le 2n-ième moment de la loi du demi-cercle est

${\displaystyle E(X^{2n})=\left({R \over 2}\right)^{2n}C_{n}\,}$

où ${\displaystyle C_{n}}$ est le n-ième nombre de Catalan :

${\displaystyle C_{n}={1 \over n+1}{2n \choose n}.}$

Ainsi les moments de la loi du demi-cercle sont les nombres de Catalan si ${\displaystyle R=2}$. Par la propriété de symétrie, les moments d'ordre impair sont nuls.

En faisant la substitution ${\displaystyle x=R\cos(\theta )}$ dans la définition de la fonction génératrice des moments, on obtient :

${\displaystyle M(t)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{Rt\cos(\theta )}\sin ^{2}(\theta )\,d\theta .}$

Cette équation peut être résolue (voir Abramowitz et Stegun §9.6.18) :

${\displaystyle M(t)=2\,{\frac {I_{1}(Rt)}{Rt}}}$

où ${\displaystyle I_{1}(z)}$ est la fonction de Bessel modifiée.

De manière similaire, la fonction caractéristique est donnée par :

${\displaystyle \varphi (t)=2\,{\frac {J_{1}(Rt)}{Rt}}}$

où ${\displaystyle J_{1}(z)}$ est la fonction de Bessel. (voir Abramowitz et Stegun §9.1.20).

• Lorsque R tend vers 0, la loi du demi-cercle converge vers la distribution de Dirac.
• La loi du demi-cercle est un cas particulier de la loi bêta renormalisée. Plus précisément, si Y est de loi bêta de paramètres ${\displaystyle \alpha =\beta ={\frac {3}{2}}}$, alors ${\displaystyle R(2Y-1)}$ suit la loi du demi-cercle.
• La loi du demi-cercle est la limite de la loi Kesten-McKay lorsque son paramètre d tend vers l'infini.