Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker

La métrique FLRW décrit la géométrie moyenne de l'Univers aux grandes échelles. Elle nous donne sa dynamique et nous permet de connaître l'évolution de sa taille (contraction ou expansion de l'Univers).

Un univers homogène et isotrope demeure au cours de son évolution homogène et isotrope. Il ne peut rendre compte de la formation des structures le composant, de densité inhomogène par définition. La formation de ses structures, tels que les filaments ou les amas de galaxies, est permise par l'introduction de perturbations autour de cette métrique FLRW. Ces perturbations croissent au cours du temps, par attraction gravitationnelle, et entraînent la création des grandes structures observées. Elles sont supposées d'origine quantique, et leur existence nous est donnée par l'observation du fond diffus cosmologique, réalisée grâce aux satellites COBE, WMAP, et plus récemment Planck.

En coordonnées sphériques ${\displaystyle (r,\theta ,\phi )}$[4], l'élément de longueur d'espace-temps ${\displaystyle ds}$, pour la métrique FLRW, se note :

${\displaystyle {\rm {d}}s^{2}=c^{2}{\rm {d}}t^{2}-a(t)^{2}\left({\frac {{\rm {d}}r^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}{\rm {d}}\Omega ^{2}\right)}$

en choisissant la signature de la métrique (en) ${\displaystyle (+---)}$ où :

• ${\displaystyle a(t)\;}$est le facteur d'échelle. Le signe de ${\displaystyle {\dot {a}}(t)}$ renseigne sur l'évolution de l'Univers : ${\displaystyle {\dot {a}}(t)>0}$ pour un univers en expansion, ${\displaystyle {\dot {a}}(t)<0}$ pour un univers en contraction et ${\displaystyle {\dot {a}}(t)=0}$ pour un univers statique, le tout considéré au temps ${\displaystyle t}$. Pour un temps ${\displaystyle t_{a}}$ tel que ${\displaystyle a(t_{a})=N>1}$, l'univers est ${\displaystyle N}$ fois plus grand que maintenant. Pour un temps ${\displaystyle t_{b}}$ tel que ${\displaystyle a(t_{b})=1/N<1}$, l'univers est ${\displaystyle N}$ fois plus petit que maintenant ;
• ${\displaystyle k\;}$est le facteur de courbure[5] et peut valoir ${\displaystyle -1}$, ${\displaystyle 0}$ ou ${\displaystyle 1}$. La valeur ${\displaystyle k=-1}$ correspond à un espace à courbure ouverte (correspondant à une géométrie hyperbolique), la valeur ${\displaystyle k=0}$ correspond à un espace à courbure nulle (correspondant à l'espace euclidien de la relativité restreinte), et la valeur ${\displaystyle k=1}$ correspond à un espace à courbure fermée (correspondant à une géométrie sphérique) ;
• ${\displaystyle \textstyle {\rm {d}}\Omega ^{2}={\rm {d}}\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \;{\rm {d}}\phi ^{2}}$[4] est la métrique sur la sphère ;
• ${\displaystyle t}$ est le temps cosmique[5].

En introduisant le changement de coordonnées : ${\displaystyle {\begin{cases}r=\sin(\chi /R_{0})&{\textrm {si}}\ k=1\\r=\chi /R_{0}&{\textrm {si}}\ k=0\\r=\sinh(\chi /R_{0})&{\textrm {si}}\ k=-1\\\end{cases}}}$ où ${\displaystyle \chi \;}$ permet de déterminer la distance comobile, l'élément de longueur ${\displaystyle ds}$ se reformule :

${\displaystyle {\rm {d}}s^{2}=c^{2}{\rm {d}}t^{2}-a(t)^{2}\left({\rm {d}}\chi ^{2}+S_{k}^{2}(\chi ){\rm {d}}\Omega ^{2}\right)}$

• ${\displaystyle S_{k}(\chi )=R(t_{0}){\begin{cases}\sin(\chi /R(t_{0}))&{\textrm {si}}\ k=1\\\chi /R(t_{0})&{\textrm {si}}\ k=0\\\sinh(\chi /R(t_{0}))&{\textrm {si}}\ k=-1\\\end{cases}}\;}$.