Matrice de Hurwitz

En mathématiques, une matrice carrée ${\displaystyle A}$ est appelée matrice de Hurwitz si toutes les valeurs propres de ${\displaystyle A}$ ont une partie réelle strictement négative, c'est-à-dire :

${\displaystyle \Re [\lambda _{i}]<0\,}$pour toute valeur propre ${\displaystyle \lambda _{i}}$.

${\displaystyle A}$ est aussi appelée une matrice de stabilité, car alors l'équation différentielle ordinaire :

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax}$

est stable, c'est-à-dire ${\displaystyle x(t)\to 0}$ quand ${\displaystyle t\to \infty .}$

Si ${\displaystyle G(s)}$ est une fonction de transfert matricielle, alors ${\displaystyle G}$ est appelée Hurwitz si les pôles de tous les éléments de ${\displaystyle G}$ ont une partie réelle négative. Il n'est pas nécessaire que ${\displaystyle G(s)}$ pour une valeur spécifique ${\displaystyle s}$ soit une matrice de Hurwitz — elle n'a même pas besoin d'être carrée. Le lien est que si ${\displaystyle A}$ est une matrice de Hurwitz, alors le système dynamique :

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)}$

${\displaystyle y(t)=Cx(t)+Du(t)\,}$

possède une fonction de transfert ${\displaystyle G}$ de Hurwitz.