Polynôme de Hurwitz

1. Il suffit de développer la forme factorisée pour le montrer (en utilisant le coefficient de Newton).
2. Il suffit de constater que ${\displaystyle R(z)=a_{n}\prod _{i=1}^{n}(1-zz_{i})}$.
3. Au préalable, on vérifie que les coefficients de ${\displaystyle Q(z)}$ sont réels.
   • La nécessité se déduit de l’application de 1 pour ${\displaystyle P(z)}$ et de sa preuve pour ${\displaystyle Q(z)}$.
   • Pour la suffisance, on vérifie successivement à l’aide de 2 : a) les racines réelles de ${\displaystyle P(z)}$ sont < 0 ; b) si une racine complexe de ${\displaystyle P(z)}$ est à partie réelle ≥ 0, alors, en l’ajoutant à sa conjuguée, ${\displaystyle Q(z)}$ possède une racine réelle ≥ 0, ce qui est exclu.
4. Un contre-exemple : ${\displaystyle P(z)=(z-1)(z+2)^{2}}$ et ${\displaystyle Q(z)=(z+4)(z+1)^{2}}$.

Ce tableau est une construction numérique basée sur les coefficients ${\displaystyle a_{i}}$ du polynôme dont les éléments permettent de vérifier un critère donnant une condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme soit de Hurwitz.

Bien que le concept conserve toute sa pertinence, le critère décrit ici a significativement perdu de son importance en pratique avec l’avènement des moyens de calcul rapide : pour un polynôme dont les coefficients sont connus, il est en effet préférable de déterminer numériquement ses racines (car elles donnent des indications nuancées sur la stabilité), au lieu de mettre en œuvre le critère ne permettant que de trancher.

Pour un polynôme de degré n, ce tableau est une matrice ${\displaystyle C}$ comportant n+1 lignes et au moins (n+1)/2 colonnes.

Les éléments des deux premières lignes ${\displaystyle C_{i,j}}$ sont directement issues des coefficients, alors que les éléments des suivantes se déterminent par des calculs de déterminants :

• La 1^re ligne du tableau, indexée par ${\displaystyle z^{n}}$, comporte les coefficients ${\displaystyle a_{n}}$, ${\displaystyle a_{n-2}}$, … soit ${\displaystyle C_{1,j}=a_{n+2-2j}.}$
• La 2^e ligne du tableau, indexée par ${\displaystyle z^{n-1}}$, comporte les coefficients ${\displaystyle a_{n-1}}$, ${\displaystyle a_{n-3}}$, … soit ${\displaystyle C_{2,j}=a_{n+1-2j}.}$
• Pour la ligne i, indexée par ${\displaystyle z^{n-i}}$, les éléments satisfont la relation récurrente suivante : ${\displaystyle C_{i+1,j}={\frac {C_{i-1,j+1}\ C_{i,1}-C_{i-1,1}\ C_{i,j+1}}{C_{i,1}}}.}$

Lorsque cette relation fait référence à des éléments qui sont hors de la matrice (j trop grand), ces derniers sont remplacés par 0.

Ce procédé conduit au tableau suivant :

Tableau de Routh

${\displaystyle z^{n}}$	${\displaystyle C_{1,1}=a_{n}\ }$	${\displaystyle C_{1,2}=a_{n-2}\ }$	${\displaystyle C_{1,3}=a_{n-4}\ }$	${\displaystyle C_{1,4}=a_{n-6}\ }$
${\displaystyle z^{n-1}}$	${\displaystyle C_{2,1}=a_{n-1}\ }$	${\displaystyle C_{2,2}=a_{n-3}\ }$	${\displaystyle C_{2,3}=a_{n-5}\ }$	${\displaystyle C_{2,4}=a_{n-7}\ }$
${\displaystyle z^{n-2}}$	${\displaystyle C_{3,1}={\frac {-1}{C_{2,1}}}{\begin{vmatrix}C_{1,1}&C_{1,2}\\C_{2,1}&C_{2,2}\end{vmatrix}}}$	${\displaystyle C_{3,2}={\frac {-1}{C_{2,1}}}{\begin{vmatrix}C_{1,1}&C_{1,3}\\C_{2,1}&C_{2,3}\end{vmatrix}}}$	${\displaystyle C_{3,3}={\frac {-1}{C_{2,1}}}{\begin{vmatrix}C_{1,1}&C_{1,4}\\C_{2,1}&C_{2,4}\end{vmatrix}}}$	…
${\displaystyle z^{n-3}}$	${\displaystyle C_{4,1}={\frac {-1}{C_{3,1}}}{\begin{vmatrix}C_{2,1}&C_{2,2}\\C_{3,1}&C_{3,2}\end{vmatrix}}}$	${\displaystyle C_{4,2}={\frac {-1}{C_{3,1}}}{\begin{vmatrix}C_{2,1}&C_{2,3}\\C_{3,1}&C_{3,3}\end{vmatrix}}}$	…	…
${\displaystyle z^{n-4}}$	${\displaystyle C_{5,1}={\frac {-1}{C_{4,1}}}{\begin{vmatrix}C_{3,1}&C_{3,2}\\C_{4,1}&C_{4,2}\end{vmatrix}}}$	…	…	…

Remarque : Concernant les unités physiques dans le cas d’un système dynamique, celles de ${\displaystyle a_{i}}$ sont ${\displaystyle [T^{i}]}$ où ${\displaystyle T}$ est le temps. Partant de ${\displaystyle C_{1,1}}$ dont l’unité est ${\displaystyle [T^{n}]}$, chaque élément de la matrice ${\displaystyle C}$ est d’unité homogène, ce qui permet un contrôle sur le traitement numérique. L’unité de ${\displaystyle C_{i,j}}$ étant ${\displaystyle [T^{n+3-i-2j}]}$, on perd ainsi :

• deux unités en progressant d’une colonne,
• une unité en progressant d’une ligne.

Si l’un des éléments en première colonne est nul (${\displaystyle C_{i,1}=0}$), le calcul des ${\displaystyle C_{i+1,1}}$ est impossible et le cas est dit « singulier ». C'est par exemple le cas du polynôme

${\displaystyle P(z)=z^{4}+z^{3}+2z^{2}+2z+1}$

qui a deux paires de racines complexes conjuguées, l'une à partie réelle positive, l'autre à partie réelle négative. Le critère de Routh est une conséquence du théorème de Routh ci-dessous:

Une singularité ${\displaystyle C_{i,1}=0}$ où les ${\displaystyle C_{i,j}(j=2,3,...)}$ sont non nuls est dite du « premier type ». On peut contourner ce type de singularité en remplaçant l'égalité ${\displaystyle C_{i,1}=0}$ par ${\displaystyle C_{i,1}=\varepsilon }$ où ${\displaystyle \varepsilon >0}$ est une quantité « infiniment petite », puis en continuant les calculs (« méthode du ${\displaystyle \varepsilon }$ de Routh »). S'il n'y a que des singularités de ce type, ${\displaystyle P(z)}$ n'a pas de racines imaginaires et l'énoncé ci-dessus du théorème de Routh reste valable. La singularité du polynôme ${\displaystyle P(z)=z^{4}+z^{3}+2z^{2}+2z+1}$ est de ce type.

Le cas d'une singularité du « second type », c'est-à-dire qui n'est pas du premier type, est plus complexe. Une telle singularité se caractérise par le fait que toute une ligne de ${\displaystyle C_{i,j}\left(j=1,2,3,...\right)}$ est nulle. C'est le cas du polynôme

${\displaystyle P(z)=z^{10}+z^{9}-z^{8}-2z^{7}+z^{6}+3z^{5}+z^{4}-2z^{3}-z^{2}+z+1}$

qui a une racine réelle ${\displaystyle <0}$, 2 paires de racines complexes à partie réelle ${\displaystyle <0}$, et 2 paires de racines complexes à partie réelle ${\displaystyle >0}$. C'est également le cas du polynôme

${\displaystyle P(z)=z^{6}+z^{5}+3z^{4}+3z^{3}+3z^{2}+2z+1}$

qui a 2 racines complexes conjuguées à partie réelle ${\displaystyle <0}$, 2 racines complexes conjuguées à partie réelle ${\displaystyle >0}$, et les deux racines imaginaires pures ${\displaystyle i,-i}$.

Les coefficients du polynôme permettent de définir une matrice explicitée dans l’article sur les déterminants de Hurwitz.

Considérons le polynôme

${\displaystyle R\left(z\right)=\sum \limits _{i=0}^{n}a_{i}z^{n-i}=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+....+a_{n}}$

où l'on suppose ${\displaystyle a_{0}>0}$ sans perte de généralité. Dans certains ouvrages, plutôt que la matrice de Hurwitz associée à ce polynôme, on considère (de manière équivalente) sa transposée ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ donnée par

${\displaystyle {\mathfrak {H}}=\left[{\begin{array}{cccccc}a_{1}&a_{0}&0&0&\cdots &0\\a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&&0\\a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&&0\\\vdots &\vdots &\ddots &a_{4}&\ddots &\vdots \\&&&&\ddots &a_{n-1}\\0&0&0&0&\cdots &a_{n}\end{array}}\right]}$

que l'on construit colonne par colonne en notant la particularité des diagonales. Le critère de Hurwitz peut s'énoncer comme suit :

On a de plus le résultat suivant :

En utilisant le théorème de Routh, on en déduit le

La matrice de Hurwitz, ou de manière équivalente la matrice ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$, est plus simple à déterminer que le tableau de Routh. Dans certains cas, néanmoins, le calcul des mineurs ${\displaystyle \Delta _{i}}$ nécessiterait plus d'opérations, inconvénient qui pourrait être pallié par le critère ci-dessous :

En conséquence, si les mineurs principaux d'ordre pair de la matrice de Hurwitz (ou, de manière équivalente, de ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$) sont tous ${\displaystyle >0}$, ceux d'ordre impair le sont aussi et réciproquement. Par ailleurs, si les ${\displaystyle a_{i}}$ sont tous ${\displaystyle >0}$ et l'une des suites finies ci-dessus ne prend pas la valeur 0 (suite notée ${\displaystyle \delta }$), le nombre de racines à partie réelle ${\displaystyle >0}$ de ${\displaystyle R(z)}$ est nécessairement pair.

• Le critère de Liénard et Chipart fait « disparaître » les singularités du premier type, sans qu'il soit nécessaire de recourir à la « méthode du ${\displaystyle \varepsilon }$ » de Routh. Si par exemple

${\displaystyle R(z)=z^{4}+z^{3}+2z^{2}+2z+1}$,

on vérifie facilement que ${\displaystyle \Delta _{1}=1,\Delta _{2}=0,\Delta _{3}=\Delta _{4}=-1}$. Donc ${\displaystyle \delta =\left\{1,\Delta _{1},\Delta _{3}\right\}=\left\{1,1,-1\right\}}$ et le nombre de racines de ${\displaystyle R(z)}$ à partie réelle ${\displaystyle >0}$ est ${\displaystyle 2V\left(\delta \right)=2}$.

• En revanche, les singularités du second type subsistent. Parmi celles-ci, on rencontre celles pour lesquelles le polynôme ${\displaystyle R(z)}$ a des racines imaginaires (voir Gantmacher 1966, Chap. XV, §§ 4, 8). Soit par exemple

${\displaystyle R(z)=z^{3}+\alpha z^{2}+\omega ^{2}z+\alpha \omega ^{2}}$.

avec ${\displaystyle \alpha \omega \neq 0}$. On a ${\displaystyle \Delta _{1}=\alpha ,\Delta _{2}=\Delta _{3}=0}$, et l'on a donc une singularité du second type. On peut raisonner de la manière suivante : si l'on remplace z par ${\displaystyle z+\eta ,\eta \neq 0}$, on constate, en négligeant les termes en ${\displaystyle o(\eta )}$, que cette fois ${\displaystyle \Delta _{2}}$ est du signe de ${\displaystyle \eta }$, et que ${\displaystyle \Delta _{3}}$ est du signe de ${\displaystyle \eta \alpha }$. On en déduit donc que le polynôme ${\displaystyle R(z)}$ a pour racines ${\displaystyle -\alpha }$ et deux complexes imaginaires purs conjugués. On vérifie du reste que ${\displaystyle R(z)=\left(z+\alpha \right)\left(z^{2}+\omega ^{2}\right)}$.

Néanmoins, il existe des polynômes qui n'ont pas de racines imaginaires et qui présentent une singularité du second type (bien entendu, ces polynômes ne sont pas de Hurwitz). C'est par exemple le cas du polynôme

${\displaystyle R(z)=2z^{5}+2z^{4}+z^{3}+z^{2}+4z+4}$

qui a pour racines ${\displaystyle -1}$, et des racines complexes conjuguées ${\displaystyle \alpha \pm i\beta }$ et ${\displaystyle -\alpha \pm i\beta ,\alpha \neq 0}$.

• On peut déterminer le nombre de racines à partie réelle positive d'un polynôme quelconque (par exemple celui qui précède) grâce à un « tableau de Routh étendu », sans recourir à la « méthode du ${\displaystyle \varepsilon }$ » ni à aucun artifice de ce type[7].