Matrice de distance euclidienne

En mathématiques, une matrice de distance euclidienne est une matrice de taille n × n représentant l'espacement d'un ensemble de points dans un espace euclidien. Si l'on note une matrice de distance euclidienne et des points sont définis dans un espace de dimension , alors les éléments de sont donnés par

désigne la norme euclidienne sur . Ainsi, la matrice des distances euclidienne sera de la forme :

Propriétés

Pour faire simple, l'élément décrit le carré de la distance entre les ème et ème points de l'ensemble. Par les propriétés de la norme euclidienne, la matrice a les propriétés suivantes :

  • Tous les éléments sur la diagonale de sont nuls (l'on parle alors de matrice creuse).
  • La trace de est zéro (par la propriété ci-dessus).
  • est symétrique (c'est-à-dire que ).
  • (par l'inégalité triangulaire)
  • Le nombre de valeurs uniques (distinctes) non nulles d'une matrice de distance euclidienne de taille est borné supérieurement par en raison de la symétrie et du fait d'être creuse.
  • En dimension m, le rang d'une matrice de distance euclidienne est inférieur ou égal à . Si les points sont en position générale, le rang est exactement min(n, m + 2).

Voir également

Références

  • James E. Gentle, Matrix Algebra : Theory, Computations, and Applications in Statistics, Springer-Verlag, , 528 p. (ISBN 978-0-387-70872-0 et 0-387-70872-3, lire en ligne), p. 299
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