Déterminant de Cayley-Menger

En algèbre linéaire et en géométrie, le déterminant de Cayley-Menger donne une expression de l'hypervolume d'un simplexe en fonction des carrés des distances entre ses sommets. Ce déterminant porte le nom d'Arthur Cayley et de Karl Menger .

Expression du déterminant

Soient points d'un espace euclidien de dimension avec . Ces points sont les sommets d'un simplexe de dimension n (triangle pour , tétraèdre pour , pentachore pour ). Notant la distance du sommet au sommet , le volume n-dimensionnel de ce simplexe s'exprime par les déterminants suivants [1] :

Le déterminant de Cayley-Menger est celui de la deuxième formule. La matrice dont est le déterminant est la matrice d'ordre de terme général , bordée par des 1 à droite et en dessous, complétée par un 0. On peut aussi mettre les 1 à gauche et en haut.

Exemples

Pour , notant a,b,c les longueurs des côtés du triangle, on a les développements et factorisations :

Le carré de l'aire du triangle est , et l'on retrouve la formule de Héron.

C'est une expression polynomiale symétrique en les longueurs des côtés. Pour , elle n'est plus symétrique en les variables , mais seulement invariante par les permutations sur les indices des sommets ; elle n'est plus non plus factorisable [2].

Pour , renommant les sommets du tétraèdre, on a et .

Cette dernière formule avait été obtenue (sous une forme développée) par Piero della Francesca ; elle est aussi connue sous le nom de « formule de Tartaglia »[3],[4].

Cette formule est valable pour des points coplanaires, auquel cas est nul, et fournit donc une relation entre les 6 distances mutuelles de quatre points dans un plan.

Démonstration

Si les vecteurs colonnes sont les coordonnées de points d'un espace euclidien de dimension , on a la formule du volume :

.

Le déterminant de reste inchangé par ajout d'une ligne et d'une colonne supplémentaires comme suit :

est le carré de la norme du vecteur . De plus la matrice d'ordre

a pour déterminant . Ainsi,

[3].

Le premier déterminant est obtenu par combinaisons et développements sur les lignes et colonnes.

Voir une autre démonstration dans [5].

Généralisation aux géométries hyperbolique et sphérique

Il existe des généralisations sphériques et hyperboliques[6] ,[7]. Une démonstration peut en être trouvée ici [8].

Dans un espace sphérique de dimension et de courbure constante , points satisfont à

, et est la distance sphérique entre les points numérotés .

Dans un espace hyperbolique de dimension et de courbure constante , points satisfont à

, et est la distance hyperbolique entre les points numérotés .

Application au rayon de la sphère circonscrite d'un simplexe

Un n-simplexe non dégénéré, possède une n -sphère circonscrite, de rayon . Le n + 1-simplexe composé des sommets du n -simplexe et du centre de la n-sphère est alors dégénéré. Ainsi, nous avons la nullité du déterminant d'ordre n + 3:

En particulier, lorsque , cela permet d'obtenir le rayon du cercle circonscrit à un triangle en fonction des longueurs de ses côtés.

Références

  1. D. M. Y. Sommerville, An Introduction to the Geometry of n Dimensions, New York, Dover Publications,
  2. (en) CARLOS D’ANDREA, MARTIN SOMBRA, « THE CAYLEY-MENGER DETERMINANT IS IRREDUCIBLE FOR n ≥ 3 », ?, ? (lire en ligne)
  3. (en) "Simplex Volumes and the Cayley-Menger Determinant", MathPages.com
  4. « Déterminants de Cayley-Menger »
  5. Marcel Berger, Géométrie, t. 1, Cassini, , p. 279-280
  6. (en) Blumenthal et Gillam, « Distribution of Points in n-Space », The American Mathematical Monthly, vol. 50, no 3, , p. 181 (DOI 10.2307/2302400, JSTOR 2302400)
  7. Audet, « Déterminants sphérique et hyperbolique de Cayley–Menger », Bulletin AMQ, Association mathématique du Québec, vol. LI, , p. 45–52 (lire en ligne)
  8. (en) Tao, « The spherical Cayley–Menger determinant and the radius of the Earth », What's new, (consulté le )

Voir aussi

Trigonométrie du tétraèdre

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