Tétraèdre

La donnée des 6 longueurs des arêtes permet la construction du tétraèdre si et seulement si ces longueurs vérifient (strictement) l'inégalité triangulaire. Si on précise l'ordre des arêtes, il n'y a (à isométrie près) que deux solutions, images miroir l'une de l'autre ; une réalisation concrète (à l'aide de barres rigides, par exemple) est nécessairement sans aucun degré de liberté, et donc non déformable.

Un tétraèdre dont toutes les arêtes, toutes les aires des faces, et le volume sont des nombres entiers est appelé un tétraèdre de Héron ; c'est par exemple le cas du tétraèdre ayant pour arêtes 896, 990 (pour l'arête opposée) et 1073 (pour les quatre autres)[5].

V = S.h/3.

Comme pour toute pyramide, la formule de calcul du volume d'un tétraèdre quelconque est :

${\displaystyle V={\frac {Sh}{3}}}$

où S est l'aire d'une base du tétraèdre et h la hauteur du tétraèdre s'appuyant sur cette base.

Pour un tétraèdre construit sur A, B, C et D,

${\displaystyle V={\frac {1}{6}}\left|\det({\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AC}},{\overrightarrow {AD}})\right|}$

où ${\displaystyle \det({\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}},{\overrightarrow {z}})=({\overrightarrow {x}}\land {\overrightarrow {y}}).{\overrightarrow {z}}}$ est le produit mixte de ${\displaystyle ({\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}},{\overrightarrow {z}})}$.

Une généralisation de la formule de Héron utilisant le déterminant de Cayley-Menger donne le volume à partir des longueurs des six côtés

${\displaystyle V^{2}={\frac {1}{288}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&a'^{2}&b'^{2}&c'^{2}\\1&a'^{2}&0&c^{2}&b^{2}\\1&b'^{2}&c^{2}&0&a^{2}\\1&c'^{2}&b^{2}&a^{2}&0\end{vmatrix}}}$

Soit ${\displaystyle V^{2}={\frac {1}{144}}(4a'^{2}b'^{2}c'^{2}-(a'^{2}(b'^{2}+c'^{2}-a^{2})^{2}+b'^{2}(c'^{2}+a'^{2}-b^{2})^{2}+c'^{2}(a'^{2}+b'^{2}-c^{2})^{2})+(b'^{2}+c'^{2}-a^{2})(c'^{2}+a'^{2}-b^{2})(a'^{2}+b'^{2}-c^{2}))}$

où ${\displaystyle a,b,c}$ sont les longueurs des côtés d'une face, et ${\displaystyle (a,a'),(b,b'),(c,c')}$ les couples de longueurs d'arêtes opposées [6]. Elle a été obtenue sous sa forme développée par Piero della Francesca [7].

Si ${\displaystyle a',b',c'}$ sont les longueurs des arêtes issues d'un même sommet, et ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ les mesures des angles des faces arrivant à ce sommet, on a la formule, obtenue en 1752 par Euler[8]^,[9] :

${\displaystyle 36V^{2}=a'^{2}b'^{2}c'^{2}(1-\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma +2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma )}$,

soit ${\displaystyle 9V^{2}=a'^{2}b'^{2}c'^{2}\sin s\sin(s-\alpha )\sin(s-\beta )\sin(s-\gamma )}$

où ${\displaystyle s={\frac {\alpha +\beta +\gamma }{2}}}$ [6].

On peut calculer la distance entre deux arêtes opposées d'un tétraèdre ABCD, par exemple (AB) et (CD) ayant un angle ${\displaystyle \theta }$, en appliquant la formule de la distance entre deux droites gauches : ${\displaystyle \delta ={\dfrac {\left\vert {\vec {n}}\cdot {\overrightarrow {AC}}\right\vert }{\lVert {\vec {n}}\rVert }}}$ où ${\displaystyle {\overrightarrow {n}}={\overrightarrow {AB}}\land {\overrightarrow {CD}}}$, soit ${\displaystyle \delta ={\dfrac {|\det({\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {CD}},{\overrightarrow {AC}})|}{\lVert {\vec {n}}\rVert }}={\dfrac {|\det({\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AC}},{\overrightarrow {AD}})|}{\lVert {\vec {n}}\rVert }}={\frac {6V}{AB.CD.\sin \theta }}}$.

On en déduit la formule du volume :

• ${\displaystyle V={\frac {1}{6}}aa'\delta \sin \theta }$

où ${\displaystyle a,a'}$ sont les longueurs de deux arêtes opposées, ${\displaystyle \delta }$ leur distance et ${\displaystyle \theta }$ leur angle.

Outre les 12 angles des quatre faces (calculables par les formules classique de trigonométrie du triangle), il y a 6 angles dièdres correspondant aux six arêtes, et 4 angles solides correspondants aux quatre sommets. Notant (P₁, P₂, P₃, P₄) les quatre sommets d'un tétraèdre, on notera θ_ij l'angle dièdre entre les deux faces adjacentes à l'arête (P_iP_j), Ω_i l'angle solide en P_i et Δ_i l'aire de la face opposée au sommet P_i.

Les outils du calcul vectoriel (produit scalaire et produit vectoriel) permettent un calcul facile de ces angles ; on a par exemple ${\displaystyle {\vec {n}}={\overrightarrow {AB}}\wedge {\overrightarrow {AC}}}$ orthogonal à la face (ABC), et donc en posant ${\displaystyle \mathbb {n} _{1}={\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}\wedge {\overrightarrow {P_{1}P_{3}}}}$ et ${\displaystyle \mathbb {n} _{2}={\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}\wedge {\overrightarrow {P_{1}P_{4}}}}$, on voit que ${\displaystyle \cos \theta _{12}={\frac {\mathbb {n} _{1}.\mathbb {n} _{2}}{|\mathbb {n} _{1}||\mathbb {n} _{2}|}}}$. La formule de Girard donne alors très simplement l'angle solide : ${\displaystyle \Omega _{1}=\theta _{12}+\theta _{13}+\theta _{14}-\pi }$.

De très nombreuses formules de trigonométrie du triangle se généralisent au tétraèdre (on en trouvera certaines dans l'article trigonométrie sphérique, et un ensemble complet dans l'article trigonométrie du tétraèdre) ; on a par exemple une « loi des cosinus » (analogue au résultat de ce nom pour les triangles) reliant les aires des faces aux angles dièdres[10] :

${\displaystyle \Delta _{i}^{2}=\Delta _{j}^{2}+\Delta _{k}^{2}+\Delta _{l}^{2}-2(\Delta _{j}\Delta _{k}\cos \theta _{il}+\Delta _{j}\Delta _{l}\cos \theta _{ik}+\Delta _{k}\Delta _{l}\cos \theta _{ij})}$.

Il existe par ailleurs une relation entre les angles dièdres liée au déterminant de Cayley-Menger[11] :

${\displaystyle {\begin{vmatrix}-1&\cos {(\theta _{12})}&\cos {(\theta _{13})}&\cos {(\theta _{14})}\\\cos {(\theta _{12})}&-1&\cos {(\theta _{23})}&\cos {(\theta _{24})}\\\cos {(\theta _{13})}&\cos {(\theta _{23})}&-1&\cos {(\theta _{34})}\\\cos {(\theta _{14})}&\cos {(\theta _{24})}&\cos {(\theta _{34})}&-1\\\end{vmatrix}}=0\,}$.

Le tétraèdre régulier est l'un des cinq solides de Platon.

Tous les points remarquables usuels du tétraèdre régulier sont confondus en un point unique, appelé centre du tétraèdre (bien que ce ne soit pas un centre de symétrie).

Pour un tétraèdre régulier inscrit dans une sphère de rayon r :

Arête ${\displaystyle a=r{\sqrt {8/3}}}$.

Rayon h de la sphère inscrite dans le tétraèdre = ${\displaystyle {\frac {r}{3}}}$.

Un tétraèdre est dit quadrirectangle lorsque les quatre faces sont des triangles rectangles. Les quatre angles droits se répartissent alors forcément entre deux sommets, deux angles droits dans chacun, d'où l'autre appellation de bicoin [12].

Avec les notations du patron ci-contre, les longueurs a,b,c,x, ${\displaystyle (c^{2}=a^{2}+b^{2})}$ étant choisies, les longueurs y,z sont obtenues par les relations ${\displaystyle y^{2}=x^{2}+c^{2},z^{2}=x^{2}+a^{2}}$.

Le tétraèdre quadrirectangle peut être construit à partir d'un pavé droit en prenant les quatre sommets de trois arêtes consécutives non coplanaires, et le pavé est réunion quasi-disjointe de six tétraèdres de ce type. Ceci montre que le tétraèdre quadrirectangle pave l'espace.

Lorsque a = b = x, autrement dit lorsque le pavé précédent est un cube, le tétraèdre quadrirectangle est dit équilatéral [12], et c'est un cas particulier de tétraèdre de Hill. On a alors ${\displaystyle z=c=a{\sqrt {2}},y=a{\sqrt {3}}}$.

• (en) Eric W. Weisstein, « Tetrahedron », sur MathWorld

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