Modèle Black-Scholes

Le calcul du prix d'une option européenne de payoff ${\displaystyle h}$ repose sur la formule ${\displaystyle C=\mathbb {E} [e^{-rT}h]}$ que nous admettons ici (l'espérance est prise sous probabilité risque neutre).

Le prix d'un Call européen de maturité T et de strike K s'écrit :

${\displaystyle {\begin{aligned}C&=\mathbb {E} [e^{-rT}(S_{T}-K){1\!\!1}_{S_{T}>K}]\\&=e^{-rT}\mathbb {E} [S_{T}{1\!\!1}_{S_{T}>K}]-Ke^{-rT}\mathbb {E} [{1\!\!1}_{S_{T}>K}]\\&=e^{-rT}\mathbb {E} [S_{T}{1\!\!1}_{S_{T}>K}]-Ke^{-rT}\mathbb {P} (S_{T}>K)\end{aligned}}}$

Ces deux derniers termes peuvent être calculés de manière explicite en utilisant l'expression du prix du sous-jacent. Nous commencerons donc par établir cette expression. On se place sous probabilité risque neutre, ce qui revient à dire que la dérive vaut ${\displaystyle r}$ (ou r-a', a' étant le taux de dividende).On a alors : ${\displaystyle {\frac {dS_{t}}{S_{t}}}=rdt+\sigma dW_{t}}$.

On considère le nouveau processus ${\displaystyle (Z_{t})_{0\leq t\leq T}}$ tel que : ${\displaystyle Z_{t}=ln(S_{t})}$. La formule d’Itô appliquée à ${\displaystyle Z}$ donne :

${\displaystyle {\begin{aligned}dZ_{t}&={\frac {\partial ln}{\partial x}}(S_{t})dS_{t}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}ln}{\partial ^{2}x}}(S_{t})d<S,S>_{t}\\&=(r-{\frac {\sigma ^{2}}{2}})dt+\sigma dW_{t}\end{aligned}}}$

En intégrant la dernière ligne, on arrive à ${\displaystyle Z_{t}=Z_{0}+(r-{\frac {\sigma ^{2}}{2}})t+\sigma W_{t}}$, puis en utilisant le fait que ${\displaystyle S_{t}=e^{Z_{t}}}$ on obtient la formule voulue :

${\displaystyle S_{t}=S_{0}e^{(r-{\frac {\sigma ^{2}}{2}})t+\sigma W_{t}}}$

Nous avons implicitement utilisé ici le fait que le processus ${\displaystyle S}$ est strictement positif. On peut prouver ce résultat en montrant que le processus trouvé est l'unique solution de l'équation différentielle stochastique ${\displaystyle dS_{t}=rS_{t}dt+\sigma S_{t}dW_{t}}$. Pour cela, on peut appliquer la formule d'Itô au processus ${\displaystyle \left(S_{t}e^{-(r-{\frac {\sigma ^{2}}{2}})t-\sigma W_{t}}\right)_{t}}$ et montrer qu'il est constant.

Notons que la variable aléatoire ${\displaystyle W_{t}}$ suit une loi normale ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,t)}$.

On a : ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} (S_{T}>K)&=\mathbb {P} \left((r-{\frac {\sigma ^{2}}{2}})T+\sigma W_{T}>ln({\tfrac {K}{S_{0}}})\right)\\&=\mathbb {P} \left({\tfrac {1}{\sqrt {T}}}W_{T}>{\frac {ln({\tfrac {K}{S_{0}}})-(r-{\frac {\sigma ^{2}}{2}})T}{\sigma {\sqrt {T}}}}\right)\\&=\mathbb {P} (G>-d_{2})\end{aligned}}}$

Où ${\displaystyle G\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$ et ${\displaystyle d_{2}={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T}}}}\left[ln({\tfrac {S_{0}}{K}})+(r-{\frac {\sigma ^{2}}{2}})T\right]}$.

Comme ${\displaystyle G}$ et ${\displaystyle -G}$ ont la même loi alors :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} (S_{T}>K)&=\mathbb {P} (-G>-d_{2})\\&=\mathbb {P} (G<d_{2})\\&=N(d_{2})\end{aligned}}}$

Où ${\displaystyle N(.)}$ est la fonction de répartition d'une gaussienne centrée réduite.

Intéressons nous maintenant au calcul du premier terme. En suivant les mêmes étapes précédentes, on peut facilement voir que :

${\displaystyle \mathbb {E} [S_{T}{1\!\!1}_{S_{T}>K}]=S_{0}\mathbb {E} \left[e^{(r-{\tfrac {\sigma ^{2}}{2}})T+\sigma {\sqrt {T}}G}{1\!\!1}_{G>-d2}\right]}$

Donc,

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{-rT}\mathbb {E} [S_{T}{1\!\!1}_{S_{T}>K}]&=S_{0}\int _{\mathbb {R} }{1\!\!1}_{x>-d_{2}}e^{{\tfrac {-x^{2}}{2}}+\sigma {\sqrt {T}}x-{\tfrac {\sigma ^{2}}{2}}T}{\tfrac {dx}{\sqrt {2\pi }}}\\\\&=S_{0}\int _{-d_{2}}^{+\infty }e^{-{\tfrac {1}{2}}(x-\sigma {\sqrt {T}})^{2}}{\tfrac {dx}{\sqrt {2\pi }}}\\&=S_{0}\int _{-d_{2}-\sigma {\sqrt {T}}}^{+\infty }e^{-{\tfrac {x^{2}}{2}}}{\tfrac {dx}{\sqrt {2\pi }}}\\&=S_{0}\int _{-\infty }^{d_{1}}e^{-{\tfrac {x^{2}}{2}}}{\tfrac {dx}{\sqrt {2\pi }}}\\&=S_{0}N(d_{1})\end{aligned}}}$

Finalement, en combinant les deux derniers résultats, on obtient : ${\displaystyle C=S_{0}N(d_{1})-Ke^{-rT}N(d_{2})}$