Modèles d'équilibre général dynamique stochastique

Le ménage a pour objectif de maximiser son utilité, ou préférence, définie par

${\displaystyle \sum _{t=0}^{\infty }\beta ^{t}\log {c_{t}}}$

avec ${\displaystyle c_{t}}$ la consommation du ménage à l'instant t et ${\displaystyle 0<\beta <1}$ un coefficient d'actualisation. À chaque période le ménage doit satisfaire les contraintes de son budget

${\displaystyle c_{t}+k_{t+1}=w_{t}l_{t}+(1+z_{t}-\delta )k_{t}}$

avec ${\displaystyle k_{t}}$ le capital du ménage à l'instant t, ${\displaystyle w_{t}}$ le salaire et ${\displaystyle l_{t}}$ correspondant au temps de travail , ${\displaystyle z_{t}}$ le taux d'intérêt du capital et ${\displaystyle \delta }$ le taux de dépréciation du stock de capital.

Étant donné ${\displaystyle \beta ,\delta ,w_{t},z_{t},l_{t},k_{0}}$ ce problème d'optimisation sous contrainte peut se résoudre avec la méthode des multiplicateur de Lagrange

${\displaystyle L(...,c_{t},k_{t},\lambda _{t},...)=\sum _{t=0}^{\infty }\beta ^{t}\log {c_{t}}+\lambda _{t}(w_{t}l_{t}+(1+z_{t}-\delta )k_{t}-c_{t}-k_{t+1})}$

avec le multiplicateur de Lagrange ${\displaystyle \lambda _{t}}$ appelé utilité marginale du revenu. En annulant les dérivées partielles de L on obtient une série d'équations nécessaires pour les optimum de la fonction L.

dérivée par rapport à ${\displaystyle c_{t}}$, ${\displaystyle \sum _{t=0}^{\infty }\beta ^{t}/c_{t}=\lambda _{t}}$

dérivée par rapport à ${\displaystyle k_{t}}$, ${\displaystyle \lambda _{t}=\beta \lambda _{t+1}(1+z_{t+1}-\delta )}$

De plus on a une condition dite de transversalité

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow +\infty }\beta ^{t}\lambda _{t}z_{t+1}=0}$

Une entreprise est modélisée par sa fonction de production, ici une fonction de Cobb-Douglas à rendements d'échelle constants,

${\displaystyle y_{t}=A(k'_{t})^{\alpha }(l'_{t})^{1-\alpha }}$

avec ${\displaystyle k'_{t}}$ le capital nécessaire à la production ${\displaystyle y_{t}}$ de la période t et ${\displaystyle l'_{t}}$, le travail. Étant donné le taux d'intérêt du capital ${\displaystyle z_{t}}$ et le prix du travail ${\displaystyle w_{t}}$, l'entreprise cherche à maximiser ses profits sur chaque période

${\displaystyle \max _{k'_{t},l'_{t}}A(k'_{t})^{\alpha }(l'_{t})^{1-\alpha }-z_{t}k'_{t}-w_{t}l'_{t}}$

En annulant les dérivées partielles on obtient les équations nécessaires

${\displaystyle z_{t}=\alpha A(l'_{t}/k'_{t})^{1-\alpha }}$

${\displaystyle w_{t}=(1-\alpha )A(k'_{t}/l'_{t})^{\alpha }}$

• Sur un marché du travail inélastique ${\displaystyle l'_{t}=l_{t}=1}$.
• Sur le marché des capitaux ${\displaystyle k'_{t}=k_{t}}$.
• Dans une économie fermée sans gouvernement ${\displaystyle y_{t}=c_{t}+k_{t+1}-(1-\delta )k_{t}}$

L'ensemble des équations précédentes se résument en

${\displaystyle c_{t}+k_{t+1}=Ak_{t}^{\alpha }+(1-\delta )k_{t}}$

${\displaystyle 1=\beta {\frac {c_{t}}{c_{t+1}}}(\alpha Ak_{t+1}^{\alpha -1}+1-\delta )}$

ou encore

${\displaystyle Ak_{t+1}^{\alpha }+(1-\delta )k_{t+1}-k_{t+2}=\beta (Ak_{t}^{\alpha }+(1-\delta )k_{t}-k_{t+1})(\alpha Ak_{t+1}^{\alpha -1}+1-\delta )}$

avec ${\displaystyle k_{0}}$ le capital initial, ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle \alpha }$ les paramètres de la fonction de production, ${\displaystyle \beta }$ le taux d'actualisation de la fonction utilité, et ${\displaystyle \delta }$ le taux d'inflation les paramètres connus. Remarque contenu des hypothèses retenues ces équations ne dépendent ni des salaires, ni des taux d'intérêt.

Un tel problème peut être résolu en utilisant les techniques de programmation dynamique (voir aussi Dynamic_programming#Example: Mathematical optimization (en)). En particulier la fonction ${\displaystyle \log }$ étant concave on peut montrer qu'il existe une fonction h telle que ${\displaystyle c_{t}=h(k_{t})}$.

Pour ${\displaystyle \delta =1}$, il existe une solution analytique[3]

${\displaystyle h(k)=(1-\beta \alpha )Ak^{\alpha }}$

Pour ${\displaystyle \delta <1}$, la seule possibilité est de recourir à des approximations. L'équation en k admet un point d'équilibre ${\displaystyle {\overline {k}}}$ tel que

${\displaystyle 1=\beta (\alpha A{\overline {k}}^{\alpha -1}+1-\delta ).}$

En introduisant la déviation logarithmique ${\displaystyle {\hat {k}}_{t}=\log {(k_{t}/{\overline {k}})}}$ de ${\displaystyle k_{t}}$ par rapport à ${\displaystyle {\overline {k}}}$, tel que ${\displaystyle k_{t}-{\overline {k}}={\overline {k}}(\exp {{\hat {k}}_{t}}-1)\approx {\overline {k}}{\hat {k}}_{t}}$ pour ${\displaystyle {\hat {k}}_{t}}$ proche de 0, on peut linéariser l'équation (LHS =RHS) autour du point d'équilibre.

Soit ${\displaystyle f(k)=Ak^{\alpha }+(1-\delta )k}$,

${\displaystyle LHS=f(k_{t+1})-k_{t+2}\approx f({\overline {k}})-{\overline {k}}+f'({\overline {k}})(k_{t+1}-{\overline {k}})-(k_{t+2}-{\overline {k}})}$

${\displaystyle LHS\approx f({\overline {k}})-{\overline {k}}+f'({\overline {k}}){\overline {k}}{\hat {k}}_{t+1}-{\overline {k}}{\hat {k}}_{t+2}}$

de même

${\displaystyle RHS=\beta (f(k_{t})-k_{t+1})f'(k_{t+1})\approx \beta (f({\overline {k}})-{\overline {k}})f'({\overline {k}})+\beta {\overline {k}}f'({\overline {k}})(f'({\overline {k}}){\hat {k}}_{t}-{\hat {k}}_{t+1})+\beta (f({\overline {k}})-{\overline {k}})f''({\overline {k}}){\overline {k}}{\hat {k}}_{t+1}.}$

Finalement on obtient une équation d'une suite récurrente linéaire de second ordre pour les différences

${\displaystyle {\hat {k}}_{t+2}=A_{0}{\hat {k}}_{t}+A_{1}{\hat {k}}_{t+1},}$

avec ${\displaystyle A_{0}=-\beta f'({\overline {k}})}$ et ${\displaystyle A_{1}=\beta +f'({\overline {k}})-\beta (f({\overline {k}})-{\overline {k}})f''({\overline {k}})}$.

Soit

${\displaystyle {\hat {k}}_{t}=w_{1}P_{1}^{t}+w_{2}P_{2}^{t}}$

où ${\displaystyle P_{i}=0.5(A_{1}+-{\sqrt {A_{1}^{2}+4A_{0}}})}$, si le polynôme ${\displaystyle X^{2}-A_{1}X-A_{0}}$ admet deux racines distinctes. En l’absence d'une condition initiale supplémentaire fixant ${\displaystyle {\hat {k}}_{1}}$, par exemple ${\displaystyle c_{0}}$, on obtient une famille de solutions. Par exemple pour ${\displaystyle \beta =0.99}$, ${\displaystyle \alpha =0.34}$, ${\displaystyle \delta =0.02}$ et ${\displaystyle A=1}$ on a ${\displaystyle P_{1}=0.96}$ et ${\displaystyle P_{2}=1.04}$. Pour éviter les solutions tendant vers l'infini pour lesquelles l'approximation n'est pas valide, on peut choisir ${\displaystyle w_{2}=0}$. Dans ce cas, connaissant le capital initial ${\displaystyle k_{0}}$, l'unique solution du problème est donnée par ${\displaystyle w_{1}={\hat {k}}_{0}}$.