Modélisation cinématique des mécanismes

Dans un ensemble, une classe d'équivalence est un sous ensemble sur lequel s'applique une relation d'équivalence (réflexive, symétrique et transitive). Elle établit ainsi un lien entre les éléments présentant des propriétés communes.

La relation considérée est (R) = « est sans mouvement relatif possible avec »

En effet soit A, B et C trois pièces du mécanisme.

• On a forcément: A(R)A, B(R)B, C(R)C puisqu'il s'agit de corps indéformables (réflexivité).
• De plus, si A(R)B alors B(R)A (symétrie).
• Enfin, si A(R)B et B(R)C, alors A(R)C (transitivité).

les sous ensembles ainsi constitués sont en fait des groupes de pièces totalement solidaires les unes des autres pendant la phase de fonctionnement considérée. Cette distinction de phase est importante puisqu'on peut par exemple à propos d'une automobile s'intéresser à la chaîne de transmission de puissance vers les roues avant (direction supposée bloquée) ou au système de direction (véhicule arrêté). De même sur un mécanisme d'horlogerie, on pourra séparément analyser le mouvement des aiguilles en marche normale ou en phase de remise à l'heure.

Moteur de modèles réduits. Classes d'équivalence mises en évidence par coloriage.

Pour déterminer les classes d'équivalence dans un mécanisme il existe plusieurs méthodes:

• la première, systématique, applicable sur un mécanisme comportant peu de pièces ( n pièces) consiste à vérifier toutes les relations i(R)j (i et j dans [1,n]).
• la deuxième plus intuitive, consiste, en partant des éléments d'assemblage (vis, boulons...), à déterminer les pièces solidaires. Cela est d'autant plus facile si on dispose -et c'est souvent le cas- d'un plan du système. Alors une bonne démarche est la mise en couleur de ce plan, en évitant de colorier les parties fixes (ou alors avec une couleur neutre) afin que les éléments mobiles ressortent mieux.

L'article liaison (mécanique) donne la définition des 10 liaisons élémentaires constituant les mécanismes.

Les ressorts et autres éléments de transmission de mouvement seront considérés comme liaison technologique et feront l'objet d'une modélisation et d'une représentation spécifique.

Représentation des ressorts

Les ressorts apparaissent sur le schéma cinématique sous forme d'une ligne en zigzag. On distingue cependant les ressorts de traction, qui sont accrochés, des ressorts de compression qui sont en appui.

Cependant, malgré sa représentation sur le schéma cinématique, un ressort n'est pas un solide indéformable. Il ne constitue donc pas une classe d'équivalence (voir illustration ci-contre). Le ressort a souvent un rôle de "Maintien du contact". Il peut être exclu du schéma ou représenté pour des raisons esthétiques ou explicatives.

Dans le graphe des liaisons, les ressorts sont indiqués sous forme d'une paire de forces opposées et de droite commune. Ils deviennent donc des efforts extérieurs. C'est souvent le modèle employé par les logiciels de calcul pour intégrer les ressorts (complété par la loi de comportement F=k.x).

Ces éléments de transmission de puissance sont souvent représentés sous leur forme compilée bien plus claire que la liaison réellement mise en jeu (ponctuelle principalement). On peut les distinguer, par une ligne interrompue, sur le graphe des liaisons.

Schéma technologique d'une boîte de vitesses automobile.

Ce sont des éléments technologiques qui permettent des liaisons temporaires. La modélisation cinématique raisonne, en général, sur des liaisons permanentes. C'est donc dans un contexte plus technologique que ces organes sont considérés.

Il s'agit aussi d'un outil mathématique dont certaines propriétés s'accordent avec les propriétés de mécanisme. Il est constitué de sommets (ici des ellipses) représentant les classes d'équivalence et d'arcs représentant les liaisons.

On peut compléter ce graphe par les efforts extérieurs au mécanisme (en rouge sur l'exemple), afin d'en faire l'étude mécanique statique ou dynamique. Il porte alors le nom de graphe des actions mécaniques. Grâce à cet outil, on établit très rapidement le bilan des actions extérieures à tout sous-ensemble isolé. L'exemple de la vis dont la frontière d'isolement rencontre trois actions mécaniques (un couple et deux liaisons).

Alors il contient l'ensemble des éléments définissant le mécanisme. Certains logiciels de mécanique sont capables de le produire automatiquement à partir de la définition des classes et des liaisons, et de fournir une simulation de fonctionnement (Motionworks, méca3D...).

Il existe également un graphe des liaisons non minimal. Dans ce cas on peut avoir plusieurs liaison entre deux classes.

Pour des mécanismes élaborés, le graphe peut vite prendre une allure de sac de nœuds. Cependant, dans la plupart des cas on peut obtenir du premier coup un graphe clair et exploitable: un mécanisme présente en général une chaîne cinématique (éléments successivement entraînés depuis une pièce d'entrée jusqu'à une pièce de sortie). En plaçant au centre du graphe, la classe d'équivalence représentant le bâti du système, et en enroulant autour de celui-ci la (ou les ) chaînes cinématique évidente, on doit obtenir un graphe sur lequel on distinguera deux types de liaisons:

• en périphérie du graphe les liaisons intervenant dans la transmission du mouvement,
• radialement (en le bâti et les éléments périphériques) les liaisons intervenant dans le guidage des pièces (sans transmission de puissance).
• très rarement, quelques liaisons complémentaires dont les raisons sont d'ordre technologique.

Le nombre cyclomatique du graphe peut être calculé par la formule : ${\displaystyle N_{Liaisons}-N_{Pieces}+1}$

Il représente le nombre de cycles indépendants suivant lesquels on peut parcourir un chemin fermé. Si on applique les relations de composition des vitesses sur une boucle complète, ce qui revient à écrire des vecteurs nuls, on obtient pour chaque cycle, 6 équations algébriques dont les inconnues sont les paramètres de position de chaque liaison (degrés de liberté) auxquelles il faut retirer le nombre de mobilités du mécanisme (autant de degré pilotes).

Le graphe de la borne ci-dessus comporte 5-4+1=2 cycles indépendants qui nous fournissent 12 équations cinématiques vérifiées pour chaque position. Ce mécanisme comporte une mobilité, Les degrés de liberté de l’ensemble des liaisons s’élèvent à 5 (-1) si on considère une vis liée par pivot (et 7(-1) si on considère le cas d’un appui plan). Dans les deux cas le nombre d’équations est suffisant ce qui signifie qu’il existe, pour chaque valeur du degré pilote, une solution unique (si elle existe) pour les positions relatives des pièces.

Dans le cas d’un système sans cycle (nombre de cycle nul), la position de la pièce en bout de ligne peut être assurée de multiples manières. C'est le cas des bras de robots, ou des pieds support de lampe. Cette non-bijection est source de difficultés rencontrées en robotique, puisqu’à partir d’une position souhaitée (d’une pince par exemple), il faudrait déterminer les positions dans chaque liaison pour pouvoir commander les moteurs. Or la solution n'est pas unique, ce qui complique les algorithmes.

Lorsqu'on étudie le comportement d'un mécanisme, on s'intéresse en particulier aux mouvements relatifs ou absolus des pièces, aux efforts transmis dans les liaisons, et à la relation entre les deux.

• en statique, l'équilibre des pièces donnent les équations et les liaisons donnent les inconnues de liaison: Le problème comprend a priori 6 équations par pièce et autant d'inconnues statiques indépendantes qu'il y a de degrés de liaison en tout.
• en cinématique, le mouvement des pièces donnent les inconnues (6 degrés de liberté ou simples paramètres cinématiques indépendants) et les liaisons donnent les équations : pour le problème on dispose alors de 6 inconnues par pièce et autant d'équations qu'il y a de degrés de liaison.

Schéma cinématique minimal

On appelle Schéma cinématique minimal celui qui représente un mécanisme avec au plus une liaison mécanique entre deux pièces ou classe d'équivalence.

On peut aussi dire que c'est une représentation d'un mécanisme qui met en évidence les possibilités de mouvements relatifs entre les groupes cinématiquement liés. Les liaisons sont positionnées dans l'espace en situation de fonctionnement. On ne représente ni les épaisseurs de pièces, ni les solutions technologiquement développées.

Il peut y avoir intérêt à décomposer une liaison, par exemple un pivot réalisé par deux roulements à billes assurant respectivement une liaison sphérique (rotule) et une liaison sphère-cylindre (linéaire annulaire). Cela permet alors, par le calcul de déterminer la part d'efforts subie par chacun des éléments alors que l'effort effectivement et globalement transmis par la liaison pivot est inexploitable.

Le schéma cinématique revêt deux fonctions principales en mécanique:

• aide à la conception en donnant le principe cinématique de fonctionnement.
• aide à la compréhension du dispositif existant.

S'il est produit à l'échelle, il peut servir de fond d'esquisse dans des calculs de vitesses et forces.

Si le graphe des liaisons est complet et sans erreur, alors, contrairement aux idées reçues, l'exécution du schéma cinématique ne doit pas poser de problème:

• la définition des classes d'équivalence.
• la définition des liaisons (nature, orientation, position).

La démarche de construction du schéma cinématique est la suivante:

1. Recenser l'ensemble des points et axes caractéristiques (centre et directions des repères de liaison) et les placer sur le schéma dans des positions relatives conformes au mécanisme réel.
2. Placer aux endroits adéquats tous les symboles de liaison (orientation bien choisie) .
3. Relier par des traits continus les pattes d'accrochage de liaisons qui se rapportent à une même classe d'équivalence.

En appliquant cette démarche, le schéma est forcément juste même s'il n'est pas compréhensible. Paradoxe du schéma. Pour remédier à cela, on peut éventuellement:

• échanger deux classes d'équivalence sur une liaison ce qui peut éliminer certains nœuds.
• respecter en général la notion de contenant/contenu (une pièce étant souvent emboîtée dans une autre).
• tracer des traits parallèles aux axes principaux du repère.
• esquisser une forme réaliste pour les pièces constituant les entrées ou sortie du mécanisme.
• adopter une couleur différente pour chaque classe d'équivalence.

• La série des normes ISO 3952 concernant les schémas cinématiques[1]
• la 4L de jacky, PCF, Caron Daniel, Jeay Emile, Lacage Bernard, Rea Jacky, Systèmes mécaniques (théorie et dimensionnement), Morizur, 2014, 657 p. (ISBN 2-10-001051-4)

En mécanique :

• Liaison (mécanique)
• Degré de liberté (mécanique)

En mathématiques :

• Théorie des graphes
• Torseur

• « Tableau des liaisons », sur SciencesIndustrielles.com (consulté le 10 juillet 2022).