Morphisme séparé

Soit ${\displaystyle X}$ un espace topologique. Alors il est séparé si et seulement la diagonale ${\displaystyle \{(x,x)\in X\times X\}}$ de ${\displaystyle X\times X}$ est fermée dans ${\displaystyle X\times X}$ (ce dernier étant muni de la topologie produit). Ce qui rend un schéma non séparé pour sa topologie de Zariski est qu'en fait la topologie de Zariski sur ${\displaystyle X\times X}$ n'est pas la topologie produit.

Soit ${\displaystyle X\to S}$ un morphisme de schémas. Soient ${\displaystyle p,q\colon X\times _{S}X\to X}$ les projections du produit fibré de ${\displaystyle X}$ par lui-même sur ses composantes. Par la propriété universelle du produit, il existe un unique morphisme de ${\displaystyle S}$-schémas ${\displaystyle \Delta _{X/S}\colon X\to X\times _{S}X}$ tel que ${\displaystyle p\circ \Delta _{X/S}={\rm {Id}}_{X}=q\circ \Delta _{X/S}}$. Ce morphisme est appelé le morphisme diagonal de ${\displaystyle X}$ sur ${\displaystyle S}$. Son image est appelé la diagonale de ${\displaystyle X\times _{S}X}$.

Un morphisme séparé est un morphisme de schémas ${\displaystyle X\to S}$ tel que la diagonale de ${\displaystyle X\to X\times _{S}X}$ est une partie fermée.

On dit qu'un ${\displaystyle S}$-schéma ${\displaystyle X}$ est séparé si son morphisme structural ${\displaystyle X\to S}$ est séparé.

Un schéma séparé est un schéma ${\displaystyle X}$ tel que le morphisme canonique ${\displaystyle X\to {\rm {Spec}}\ \mathbb {Z} }$ est séparé.

Exemples

• Tout schéma affine est séparé.
• Le recollement de deux copies ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$ de la droite affine le long de l'ouvert ${\displaystyle X_{i}\setminus \{0\}}$ est un schéma non-séparé.

• Les immersions fermées et les immersions ouvertes sont des morphismes séparés.
• (changement de base) Si ${\displaystyle X\to S}$ est séparé, alors pour tout ${\displaystyle T\to S}$, le changement de base ${\displaystyle X\times _{S}T\to T}$ est séparé.
• Le produit fibré ${\displaystyle X\times _{S}Y}$ de ${\displaystyle S}$-schémas séparés est un ${\displaystyle S}$-schéma séparé.
• La composition de morphismes séparés est séparé.
• On a l'équivalence des propriétés :

1. ${\displaystyle X}$ est séparé ;
2. il existe un morphisme séparé ${\displaystyle X\to {\rm {Spec}}\ A}$ vers un schéma affine ;
3. tout morphisme ${\displaystyle X\to {\rm {Spec}}A}$ est séparé.

• Soit ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ un morphisme de ${\displaystyle S}$-schémas avec ${\displaystyle Y}$ séparé sur ${\displaystyle S}$. Alors le graphe de ${\displaystyle f}$ est une partie fermée de ${\displaystyle X\times _{S}Y}$. Le graphe de ${\displaystyle f}$ est par définition l'image du morphisme ${\displaystyle ({\rm {Id}}_{X},f)\colon X\to X\times _{S}Y}$ (qui intuitivement envoie ${\displaystyle x}$ sur ${\displaystyle (x,f(x))}$, ce qui est d'ailleurs rigoureusement exact au niveau des ${\displaystyle T}$-points ${\displaystyle X(T)\to X(T)\times Y(T)}$).
• Un groupe algébrique est toujours séparé.

Alexandre Grothendieck et Jean Dieudonné, Éléments de géométrie algébrique, coll. « GMW » (n° 166), Springer-Verlag, 1971, chap. I

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