Moyennes spectrales

On s'intéresse à un milieu sans diffusion, décrit par l'équation de transfert radiatif stationnaire portant sur la luminance spectrale (ou spectrique[N 1]) ${\displaystyle L_{\nu }(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\Omega }})}$ dans la direction donnée par la variable Ω[1]^,[2]

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\cdot \nabla L_{\nu }=\kappa _{\nu }(L_{\nu }^{0}-L_{\nu })}$

où ${\displaystyle \kappa _{\nu }}$ est le coefficient d'absorption à la fréquence ν et ${\displaystyle L_{\nu }^{0}}$ la distribution de Planck écrite en fonction de l'énergie réduite ${\displaystyle u={\frac {h\nu }{kT}}}$

${\displaystyle L_{\nu }^{0}={\frac {\alpha u^{3}}{e^{u}-1}}\,,\;\;\;\alpha ={\frac {2k^{3}T^{3}}{h^{2}c^{2}}}}$

La luminance peut être réduite à la connaissance de ${\displaystyle L_{\nu }(s)}$ dans le cas du problème unidimensionnel de la propagation dans une direction choisie, s étant la coordonnée mesurant cette direction

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} L_{\nu }}{\mathrm {d} s}}=\kappa _{\nu }(L_{\nu }^{0}-L_{\nu })}$

Dans le cas d'un milieu homogène (T constant) la solution avec le terme source ${\displaystyle L_{\nu }(0)=L_{0}}$ est

${\displaystyle L_{\nu }(s)=L_{0}e^{-\kappa _{\nu }s}+L_{\nu }^{0}\left(1-e^{-\kappa _{\nu }s}\right)}$

• Le premier terme à droite correspond à l'absorption du terme source (loi de Beer-Lambert). Il tend à disparaître lorsque s devient grand. La fraction de L₀ transmise est la transmittance spectrale

${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\nu }(s)=e^{-\kappa _{\nu }s}}$

Si le milieu est constitué de n composants les coefficients d'absorption s'additionnent et les transmittances se multiplient

${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\nu }=e^{-\sum _{i=1}^{n}\kappa _{\nu _{i}}s}=\Pi _{i=1}^{n}e^{-\kappa _{\nu _{i}}s}=\Pi _{i=1}^{n}{\mathcal {T}}_{\nu _{i}}}$

• le second terme correspond à l'émission du milieu. Lorsque ${\displaystyle s\to \infty }$ ce terme tend vers zéro et la solution du problème vers ${\displaystyle L_{\nu }^{0}}$. Il fait apparaître l'absorbance spectrale

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\nu }(s)=1-e^{-\kappa _{\nu }s}}$

On a

${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\nu }+{\mathcal {A}}_{\nu }=1}$

${\displaystyle f={\frac {u^{3}}{e^{u}-1}}}$ et sa dérivée.

On suppose ici que le milieu est proche de l'équilibre thermodynamique, condition réalisée pour un milieu optiquement épais tel que le libre parcours moyen soit petit devant toute longueur caractéristique des gradients présents dans le milieu

${\displaystyle \kappa _{\nu }^{-1}<<{\frac {T}{\nabla T}}\,,\;\;\;\forall \nu }$

On écrit la solution de l'équation de transfert comme le développement au premier ordre

${\displaystyle L_{\nu }({\boldsymbol {x}})=L_{\nu }^{0}({\boldsymbol {x}})-{\frac {1}{\kappa _{\nu }}}\,{\boldsymbol {\Omega }}\cdot \nabla L_{\nu }^{0}+...=L_{\nu }^{0}-{\frac {1}{\kappa _{\nu }}}{\frac {\partial L_{\nu }^{0}}{\partial T}}\,{\boldsymbol {\Omega }}\cdot \nabla T+...}$

avec

${\displaystyle {\frac {\partial L_{\nu }^{0}}{\partial T}}={\frac {3\alpha u^{2}}{e^{u}-1}}-{\frac {\alpha u^{3}e^{u}}{\left(e^{u}-1\right)^{2}}}}$

Cette expression s'annule au maximum de la distribution de Planck donnée par

${\displaystyle u=LambertW(-3e^{-3})+3=2.821439372...}$

où LambertW est la fonction W de Lambert.

Si on intègre cette expression sur tout le spectre il vient

${\displaystyle L=\int _{0}^{\infty }L_{\nu }\mathrm {d} \nu ={\frac {acT^{4}}{4\pi }}-{\boldsymbol {\Omega }}\cdot \nabla T\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\kappa _{\nu }}}{\frac {\partial L_{\nu }^{0}}{\partial T}}\mathrm {d} \nu }$

On réécrit le dernier terme en faisant apparaître la moyenne de Rosseland ${\displaystyle \kappa _{R}(T)}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\kappa _{\nu }}}{\frac {\partial L_{\nu }^{0}}{\partial T}}\mathrm {d} \nu ={\frac {1}{\kappa _{R}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\partial L_{\nu }^{0}}{\partial T}}\mathrm {d} \nu ={\frac {1}{\kappa _{R}}}{\frac {acT^{3}}{\pi }}}$

On notera que ${\displaystyle {\frac {\partial L_{\nu }^{0}}{\partial T}}}$ est négatif au-delà du maximum de la fonction de Planck, ce qui privilégie les fortes fréquences dans la moyenne de Rosseland. Corrélativement, augmenter l'absorption aux faibles fréquences diminue cette moyenne.

Un exemple pour lequel le calcul est analytique est le rayonnement continu de freinage (bremẞtrahlung) dans un plasma pour lequel on a, en négligeant l'émission induite

${\displaystyle \kappa _{\nu }=\alpha T^{-{\frac {1}{2}}}\nu ^{-3}}$

où T est ici la température de translation des électrons. Ceci donne par intégration

${\displaystyle \kappa _{R}=\beta T^{-{\frac {7}{2}}}}$

appelée opacité de Kramers[N 2].

En intégrant l'équation de transfert sur tout le spectre on obtient

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\cdot \nabla L=\int _{0}^{\infty }\kappa _{\nu }L_{\nu }^{0}\mathrm {d} \nu -\int _{0}^{\infty }\kappa _{\nu }L_{\nu }\mathrm {d} \nu }$

où L est la luminance totale

${\displaystyle L=\int _{0}^{\infty }L_{\nu }\mathrm {d} \nu }$

Le premier terme correspondant à l'émission ne pose pas de problème : il suffit d'introduire la moyenne de Planck

${\displaystyle \kappa _{P}(T)={\frac {\int _{0}^{\infty }\kappa _{\nu }L_{\nu }^{0}\mathrm {d} \nu }{\int _{0}^{\infty }L_{\nu }^{0}\mathrm {d} \nu }}={\frac {4\pi }{aT^{4}}}\int _{0}^{\infty }\kappa _{\nu }L_{\nu }^{0}\mathrm {d} \nu }$

où a est la constante radiative.

Le second terme n'est pas connu a priori puisqu'il contient la solution cherchée. On va donc chercher des approximations possibles sous la forme ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\kappa _{\nu }L_{\nu }\mathrm {d} \nu =\kappa _{m}\int _{0}^{\infty }L_{\nu }\mathrm {d} \nu }$, ce qui constitue une opération délicate puisque luminance et coefficient d'absorption sont fortement corrélés. En fait on utilise un découpage en bandes de largeur variable suivant la méthode adoptée.

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