Nimber

La définition des opérations sur les nimbers nécessite au préalable la fonction mex, dite de minimum exclu. Le mex d'un ensemble d'ordinaux est défini comme le plus petit ordinal n'appartenant pas à cet ensemble. Par exemple :

• Mex(1, 2) = 0
• Mex(0, 1, 5, 6) = 2
• Mex(0, 1, 2, 3, ..., ω, ω+5) = ω+1

On utilise exactement la même définition du mex pour un ensemble de nimbers, à savoir que le mex d'un ensemble de nimbers est le plus petit nimber n'appartenant pas à cet ensemble. Dans le cas d'un jeu de Nim, le calcul du nimber d'une position donnée consiste exactement à prendre le mex de l'ensemble des nimbers des positions immédiatement postérieures.

L'opération d'addition de deux nimbers ${\displaystyle \alpha }$ et ${\displaystyle \beta }$ est définie comme suit  :

${\displaystyle \alpha \oplus \beta =\operatorname {mex} (\{\,\alpha '\oplus \beta$ :\alpha '<\alpha \,\}\cup \{\,\alpha \oplus \beta ':\beta '<\beta \,\}),}

Selon le théorème de Sprague-Grundy, cette opération calcule le nimber de la position ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ d'un jeu de Nim à deux tas (ou jeu de Marienbad) possédant respectivement ${\displaystyle \alpha }$ et ${\displaystyle \beta }$ objets, chaque joueur choisissant l'un des deux tas à son gré pour retirer le nombre d'objets qu'il veut.

Dans le cas fini, cette addition est identique au OU exclusif en binaire. En écrivant ${\displaystyle \alpha }$ et ${\displaystyle \beta }$ en binaire, il suffit de faire la somme des deux nombres sans tenir compte des retenues.

L'opération d'addition définie sur les nimbers possède les propriétés remarquables suivantes :

• le nimber 0 est un élément neutre : ${\displaystyle \alpha \oplus 0=\alpha }$
• commutativité : ${\displaystyle \alpha \oplus \beta =\beta \oplus \alpha }$
• associativté : ${\displaystyle (\alpha \oplus \beta )\oplus \gamma =\alpha \oplus (\beta \oplus \gamma )}$
• Tout nimber possède un opposé (lui-même) : ${\displaystyle \alpha \oplus \alpha =0}$ et donc ${\displaystyle -\alpha =\alpha }$

Ces propriétés munissent la classe des nimbers d'une structure de groupe abélien. La dernière propriété exprime le fait que la position d'un jeu de Nim à deux tas constitué de deux tas égaux est une position gagnante : le premier joueur qui atteint une telle position joue ensuite symétriquement de son adversaire pour conserver toujours deux tas égaux jusqu'à ce qu'il ne reste plus aucun objet.

Le produit de deux nimbers est défini comme suit :

• ${\displaystyle \alpha \otimes \beta =\operatorname {mex} (\{\,(\alpha '\otimes \beta )\oplus (\alpha \otimes \beta ')\oplus (\alpha '\otimes \beta '):\alpha '<\alpha ,\beta '<\beta \,\}),}$

Ce produit permet de calculer les nimbers des positions du produit ${\displaystyle P\times Q}$ de deux jeux, défini comme suit[2]:

• Une position du jeu produit est un ensemble dont les éléments (a, b) sont formés d'une position a du jeu P et d'une position b du jeu Q.
• La position initiale du jeu produit est un ensemble dont les éléments (a, b) sont formés d'une position a initiale du jeu P et d'une position initiale b du jeu Q.
• La position finale du jeu produit est un ensemble dont les éléments (a, b) sont formés d'une position a finale du jeu P ou d'une position finale b du jeu Q.
• On passe d'une position à une autre en choisissant un élément (a, b) de la position dont on part et en le remplaçant par un triplet (a' , b), (a, b' ), (a' , b' ), où a' est une position de P qu'on peut atteindre à partir de a, et b' une position de Q qu'on peut atteindre à partir de b.

Le produit possède les propriétés suivantes :

• le nimber 1 est un élément neutre : ${\displaystyle \alpha \otimes 1=\alpha }$
• commutativité : ${\displaystyle \alpha \otimes \beta =\beta \otimes \alpha }$
• associativité : ${\displaystyle (\alpha \otimes \beta )\otimes \gamma =\alpha \otimes (\beta \otimes \gamma )}$
• distributivité par rapport à l'addition : ${\displaystyle (\alpha \oplus \beta )\otimes \gamma =(\alpha \otimes \gamma )\oplus (\beta \otimes \gamma )}$
• Tout nimber non nul possède un inverse

Addition et produit munissent la classe des nimbers d'une structure de corps commutatif.

La propriété la plus surprenante est le fait que tout nimber possède un inverse. Cela se démontre grâce à une formule explicite qui permet de construire l'inverse de façon inductive. On définit un ensemble S par induction :

• ${\displaystyle 0\in S}$
• si ${\displaystyle \beta '\in S}$ alors pour tout ${\displaystyle \alpha '<\alpha }$, on a : ${\displaystyle {\frac {1\oplus ((\alpha '\oplus \alpha )\otimes \beta ')}{\alpha '}}\in S}$

On peut alors montrer que ${\displaystyle \beta =\operatorname {mex} (S)}$ vérifie ${\displaystyle \alpha \otimes \beta =1}$, c'est-à-dire ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{\alpha }}}$.

Certains sous-ensembles de nimbers sont stables pour les opérations d'addition et de multiplication. Pour n > 0 donné :

• l'ensemble des nimbers de 0 à ${\displaystyle 2^{n}-1}$ est stable pour l'opération d'addition
• l'ensemble des nimbers de 0 à ${\displaystyle 2^{2^{n}}-1}$ est stable pour l'opération de multiplication

Il s'ensuit que l'ensemble des nimbers de 0 à ${\displaystyle 2^{2^{n}}-1}$ est un corps fini à ${\displaystyle 2^{2^{n}}}$ éléments distincts, donc isomorphe à ${\displaystyle F_{2^{2^{n}}}}$.