Spectre de Lagrange

Le théorème de Hurwitz affirme que tout réel ξ peut être approché par une suite de rationnels m/n telle que

${\displaystyle \left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,n^{2}}}.}$

Plus précisément, on définit L(ξ) comme la borne supérieure des c ayant la même propriété que √5 dans cette formule (si elle existe, c'est-à-dire si ξ est irrationnel et de mesure d'irrationalité égale à 2), autrement dit L(ξ) est la borne supérieure des c tels qu'il existe une suite de rationnels m/n ayant pour limite ξ et telle que

${\displaystyle \left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{cn^{2}}}}$ ;

l'ensemble des L(ξ) (pour ξ irrationnel) forme le spectre de Lagrange L[1]. Le théorème de Hurwitz montre que ${\displaystyle {\sqrt {5}}=L\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)}$ est le plus petit élément de L, et plus précisément encore que les seuls nombres ξ pour lesquels L(ξ)=√5 sont les nombres équivalents au nombre d'or ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ ; Hurwitz a également démontré que l'élément suivant de L, obtenu en excluant les nombres précédents, est 2√2=L(√2). Plus généralement, ce procédé définit une suite de nombres L_n appelés nombres de Lagrange ; il s'agit de la suite ${\displaystyle \left({\sqrt {5}},2{\sqrt {2}},{\frac {\sqrt {221}}{5}},{\frac {\sqrt {1517}}{13}},\dots \right)}$, de limite 3 et formant la partie du spectre de Lagrange inférieure à 3.

Une formulation équivalente, mais plus pratique, en termes de limites inférieures, revient à dire que :

${\displaystyle 1/L(\xi )=\liminf _{n\to \infty }n^{2}\left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|,}$

où m est l'entier (dépendant de n) rendant la différence minimale.

Partant du développement en fraction continue de ξ,

${\displaystyle \xi =a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\dots }}}}}}=[a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ],}$

on introduit la suite de nombres ${\displaystyle \xi _{n}=x_{n}+r_{n}}$, où ${\displaystyle x_{n}=[a_{n},a_{n+1},a_{n+2},\cdots ]}$ s'obtient en retirant les n premiers termes du développement de ξ et ${\displaystyle r_{n}=[0,a_{n-1},a_{n-2},\cdots ,a_{0}]}$ est le rationnel obtenu en prenant les termes retirés, dans l'ordre inverse. On a alors ${\displaystyle L(\xi )=\limsup _{n\to \infty }\xi _{n}}$.

Si l'on remplace dans cette définition la limite supérieure par la borne supérieure, on obtient un nouvel ensemble de nombres M(ξ), le spectre de Markov M, défini par Andreï Markov en 1879 dans le cadre de son étude des formes quadratiques[2] :

${\displaystyle M(\xi )=\sup _{n\to \infty }\xi _{n}.}$

On considère l'ensemble des formes quadratiques  ${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$ à coefficients réels, de discriminant fixé ${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac=1}$[4]. Pour chacune de ces formes, la borne supérieure des valeurs absolues des inverses des valeurs non nulles prises en un point du réseau ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ appartient au spectre de Markov ; plus précisément

${\displaystyle M=\left\{\left(\sup _{(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}}1/|f(x,y)|\right):f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2},\ b^{2}-4ac=1\right\}}$[5].

Les nombres de Markov sont les entiers naturels x, y ou z faisant partie d'une solution de l'équation diophantienne de Markov : ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz}$, formant la suite (1,2,5,13,34,89,...) (suite A002559 de l'OEIS). Markov a démontré que le n-ème nombre de Lagrange, L_n, est donné par la formule ${\displaystyle L_{n}={\sqrt {9-{4 \over {m_{n}}^{2}}}}}$, où m_n est le n-ème nombre de Markov.