Discriminant

Considérons une équation du second degré, ici a, b et c sont trois coefficients réels tel que a est différent de zéro :

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}$

Discriminant de l'équation du deuxième degré —  Le discriminant (ou réalisant[1]) de l'équation précédente est le nombre Δ (ou ${\displaystyle \rho }$) défini par :

${\displaystyle \Delta =\rho =b^{2}-4ac.}$

La connaissance du discriminant permet de résoudre l'équation :

Résolution de l'équation —  Si le discriminant est positif, l'équation admet deux solutions x₁ et x₂ données par les formules suivantes :

${\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\quad {\text{et}}\quad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\quad {\text{et}}\quad ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2}).}$

Si le discriminant est nul, les deux solutions obtenues sont égales, on dit que l'équation admet une racine double :

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}\quad {\text{et}}\quad x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}.}$

Si le discriminant est strictement négatif, il n'a pas de racine carrée réelle et donc l'équation n'admet pas de solution réelle.

Dans ce dernier cas, le discriminant a toutefois une racine complexe et donc une solution complexe :

Si les solutions nombres complexes de l'équation sont admises, ou si les coefficients a, b et c sont complexes[2], la situation est un peu différente. Le théorème de d'Alembert-Gauss précise qu'il existe toujours au moins une solution à l'équation. Dans l'ensemble des complexes, un nombre admet toujours deux racines carrées, il existe une valeur δ tel que son carré δ² soit égal à Δ :

Racines complexes —  L'équation admet deux solutions x₁ et x₂ données par les formules suivantes :

${\displaystyle x_{1}={\frac {-b+\delta }{2a}}\quad {\text{et}}\quad x_{2}={\frac {-b-\delta }{2a}}.}$ Si le discriminant est nul, la même solution apparait deux fois : l'équation admet une racine double égale à : ${\displaystyle \quad x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}.}$.

Le discriminant réduit apparait quand on écrit l'équation du second degré sous la forme

${\displaystyle ax^{2}+2b'x+c=0,}$

par un changement de variable ${\displaystyle b'={\frac {b}{2}}}$ Dans ce cas les "2" et "4" apparaissant dans l’expression des solutions et du discriminant se simplifient et on obtient :

Discriminant réduit —  Le discriminant réduit de l'équation précédente est le nombre Δ' défini par :

${\displaystyle \Delta '=b'^{2}-ac.}$

L'expression des racines, si elles existent, devient :

${\displaystyle x_{1}={\frac {-b'+\delta '}{a}}\quad {\text{et}}\quad x_{2}={\frac {-b'-\delta '}{a}}\quad {\text{avec}}\quad \delta '^{2}=\Delta '=b'^{2}-ac.}$

Cherchons à résoudre l'équation suivante :

${\displaystyle 5x^{2}-5x+1=0.}$

Le calcul du discriminant Δ et des racines x₁ et x₂ donne :

${\displaystyle \Delta =(-5)^{2}-4\times 5\times 1=5\quad {\text{et}}\quad x_{1}={\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}},\quad x_{2}={\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}.}$

Dans le cas de l'équation suivante, le discriminant réduit est nul et il n'existe qu'une racine, égale à –3.

${\displaystyle x^{2}+6x+9=0\quad {\text{$ : }}\quad \Delta '=3^{2}-1\times 9=0\quad {\text{ ; comme}}\quad x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}\;{\text{, on a }}\quad x_{1}=x_{2}=-3.}

Le dernier exemple décrit une situation où le discriminant est strictement négatif, ici égal à –3. On remarque de i√3 est une racine carrée du discriminant, si i désigne l'unité imaginaire. Ceci permet de déterminer les solutions :

${\displaystyle x^{2}+x+1=0\quad \Rightarrow \quad \Delta =1^{2}-4\times 1\times 1=-3\quad {\text{et}}\quad x_{1}=-{\frac {1}{2}}+{\rm {i}}{\frac {\sqrt {3}}{2}},\quad x_{2}=-{\frac {1}{2}}-{\rm {i}}{\frac {\sqrt {3}}{2}}.}$

On peut remarquer que ces deux racines sont des racines de l'unité : elles ont pour cube (pour puissance troisième) le nombre 1. Le polynôme choisi est un cas particulier de polynôme cyclotomique.

Le nombre d'or est l'unique solution positive de l'équation x² = x + 1 : ici ${\displaystyle \Delta =5}$, donc ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$.

L'équation ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=y.}$ définit (pour ${\displaystyle a}$ non nul) une parabole, et rechercher la solution y=0 revient à rechercher l'intersection de cette parabole avec l'axe des abscisses. Le discriminant permet de savoir si cette intersection existe, selon les trois possibilités illustrées par l'image en haut de l'article :

• courbe bleue (discriminant positif) : la parabole croise deux fois l'axe des abscisses ; pour ${\displaystyle x}$ entre les deux solutions, ${\displaystyle y}$ a le signe opposé à ${\displaystyle a}$, et le même signe que ${\displaystyle a}$ à l'extérieur ;
• courbe rouge (discriminant nul) : la parabole tangente l'axe des abscisses en un point unique (la solution double) ;
• courbe jaune (discriminant négatif) : la parabole ne croise pas l'axe des abscisses, ${\displaystyle y}$ est toujours du même signe que ${\displaystyle a}$.

La généralisation du discriminant d'un polynôme de degré quelconque offre un outil permettant de déterminer si ses racines sont simples ou multiples. Dans ce paragraphe A désigne un anneau intègre et P un polynôme de degré n dont les coefficients appartiennent à A et sont notés de la manière suivante :

${\displaystyle P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\;{\text{et}}\quad a_{n}\neq 0.}$

La dérivée formelle de P est notée P' , elle existe même si A est différent du corps des nombres réels ou complexes. Enfin R désigne le résultant ; c'est une application particulière qui à deux polynômes associe un élément de A.

• Le discriminant de P, en général noté Δ(P), est la valeur définie par la formule suivante[3] lorsque deg(P') = n – 1 (ce qui est toujours le cas en caractéristique 0) :

${\displaystyle \Delta (P)={\frac {(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}}{a_{n}}}R(P,P').}$

Le coefficient de normalisation possède son importance ; un discriminant peut ainsi être également interprété comme un volume orienté. L'usage d'une telle approche devient évidente lors de l'analyse du discriminant d'une forme quadratique ou d'un anneau de Dedekind dans le cadre de la théorie algébrique des nombres.

Certains résultats de la théorie de Galois s'appliquent au discriminant, il faut alors étendre l'anneau A des coefficients. Comme A est commutatif unitaire intègre, il possède un corps des fractions F commutatif et P peut être considéré comme un polynôme à coefficients dans F. Ici K désigne le corps de décomposition de P, c'est-à-dire le plus petit corps contenant F et toutes les racines de P, à un isomorphisme près. Le discriminant possède la propriété suivante :

• Le discriminant du polynôme P est non nul si et seulement si P est séparable (c'est-à-dire n'admet aucune racine multiple).

Ce résultat est une conséquence d'une propriété générale du résultant de deux polynômes : il est non nul si et seulement si les deux polynômes sont premiers entre eux. Il peut aussi se déduire de la formule suivante :

• Soit α_i pour i variant de 1 à n, les racines du polynôme P, le discriminant vérifie l'égalité suivante[4] :

${\displaystyle \Delta (P)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}{(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}}}$.

Démonstration[5]

D'après les propriétés du résultant, le discriminant est égal à :

${\displaystyle R(P,P')=(-1)^{n(n-1)}a_{n}^{n-1}\prod _{i=1}^{n}P'(\alpha _{i})=a_{n}^{n-1}\prod _{i=1}^{n}P'(\alpha _{i})}$

Le polynôme P vérifie l'égalité suivante, ce qui, par dérivation donne :

${\displaystyle P=a_{n}\prod _{j=1}^{n}(X-\alpha _{j})\quad {\text{et}}\quad P'=a_{n}\sum _{k=1}^{n}\prod _{j=1 \atop j\neq k}^{n}(X-\alpha _{j}).}$

On en déduit l'expression de P' (α_j) :

${\displaystyle P'(\alpha _{i})=a_{n}\sum _{k=1}^{n}\prod _{j=1 \atop j\neq k}^{n}(\alpha _{i}-\alpha _{j})=a_{n}\prod _{j=1 \atop j\neq i}^{n}(\alpha _{i}-\alpha _{j}),}$

ce qui fournit l'expression suivante du discriminant :

${\displaystyle R(P,P')=a_{n}^{2n-1}\prod _{i\neq j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})=a_{n}^{2n-1}\prod _{i<j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})(\alpha _{j}-\alpha _{i}).}$

Comme il existe exactement n(n - 1)/2 couples (i, j) tel que i est strictement plus petit que j, on en déduit :

${\displaystyle R(P,P')=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}a_{n}^{2n-1}\prod _{i<j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}.}$

La définition du discriminant permet de conclure.

• Le discriminant d'un polynôme de degré 1 est toujours égal à 1.
• Pour les polynômes du second degré et avec les notations du premier paragraphe, on obtient :${\displaystyle \Delta (P)={\frac {(-1)^{\frac {2(2-1)}{2}}}{a}}{\begin{vmatrix}&a&2a&0&\\&b&b&2a&\\&c&0&b&\\\end{vmatrix}}=-{\begin{vmatrix}&1&2&0&\\&b&b&2a&\\&c&0&b&\\\end{vmatrix}}=-{\begin{vmatrix}b&2a&\\0&b&\\\end{vmatrix}}+2{\begin{vmatrix}b&2a&\\c&b&\\\end{vmatrix}}=b^{2}-4ac}$en caractéristique différente de 2.
• Pour les polynômes de degré trois on considère généralement le polynôme normalisé, c'est-à-dire celui dont le monôme dominant est égal à 1. et avec les notations suivantes :${\displaystyle P=X^{3}+aX^{2}+bX+c.}$On obtient si ${\displaystyle A=\mathbb {Q} }$[6] :${\displaystyle \Delta (P)=(-1)^{\frac {3(3-1)}{2}}{\begin{vmatrix}&1&a&b&c&0\\&0&1&a&b&c&\\&3&2a&b&0&0&\\&0&3&2a&b&0&\\&0&0&3&2a&b&\\\end{vmatrix}}=a^{2}b^{2}+18abc-4b^{3}-4a^{3}c-27c^{2}.}$L'expression est un peu complexe ; pour cette raison, la tradition est de réaliser des substitutions.
  On obtient le résultat général suivant : supposons que A soit un corps commutatif de caractéristique différente de 2 et de 3. Alors on peut mettre le polynôme unitaire ${\displaystyle P(X)\in A[X]}$ sous la forme${\displaystyle P=X^{3}+pX+q\quad {\text{et}}\quad \Delta (P)=-2^{2}p^{3}-3^{3}q^{2}.}$
• Dans le cas d'une équation polynomiale de degré 3 à coefficients réels, si ce discriminant est strictement positif, l'équation admet trois solutions réelles distinctes, si ce discriminant est nul, une racine est multiple et toutes sont réelles, si ce discriminant est strictement négatif, l'équation n'admet qu'une solution réelle, les deux autres sont complexes conjuguées. (Par exemple, pour l'équation binomiale X³ – a = 0, ce discriminant vaut –27a² < 0 si a est un réel non nul.)

• Les solutions de l'équation ${\displaystyle X^{3}+pX+q=0}$ sur un corps commutatif K de caractéristique différente de 2 et de 3 sont données par la « formule de Cardan » qu'on peut, dans une clôture algébrique de K, mettre sous la forme${\displaystyle {\rm {j}}^{k}{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\left(-q+{\sqrt {\frac {-\Delta }{3^{3}}}}\right)}}+{\rm {j}}^{-k}{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}\left(-q-{\sqrt {\frac {-\Delta }{3^{3}}}}\right)}}}$${\displaystyle \left(0\leq k\leq 2\right)}$ où ${\displaystyle \Delta }$ est le discriminant noté ci-dessus ${\displaystyle \Delta (P)}$ et où j est une racine cubique primitive de l'unité. Les deux termes ${\displaystyle u_{k}}$ et ${\displaystyle v_{k}}$ de cette somme sont liés par la relation ${\displaystyle 3u_{k}v_{k}=-p}$[7]. On trouvera un exemple de résolution d'équation du troisième degré en caractéristique finie à l'article Méthode de Cardan.
• Les courbes elliptiques sont un cas particulier de polynômes du troisième degré à deux variables. Pour le cas simple d'une courbe elliptique de la forme ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+px+q}$, où les coefficients ${\displaystyle q,p}$ sont des nombres réels, le discriminant est de nouveau défini par ${\displaystyle \Delta =-4p^{3}-27q^{2}}$[8].

L'expression générale du discriminant du polynôme P défini par :

${\displaystyle P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\;}$

est la suivante :

${\displaystyle \Delta (P)={\frac {(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}}{a_{n}}}\overbrace {\begin{array}{|cccc}a_{n}&0&\cdots &0\\a_{n-1}&a_{n}&\ddots &\vdots \\\vdots &a_{n-1}&\ddots &0\\a_{2}&\vdots &\ddots &a_{n}\\a_{1}&a_{2}&\ddots &a_{n-1}\\a_{0}&a_{1}&\ddots &\vdots \\0&a_{0}&\ddots &a_{2}\\\vdots &\ddots &\ddots &a_{1}\\0&\cdots &0&a_{0}\\\end{array}} ^{n-1{\text{ colonnes}}}\overbrace {\begin{array}{ccccc|}na_{n}&0&\cdots &\cdots &0\\(n-1)a_{n-1}&na_{n}&\ddots &&\vdots \\\vdots &(n-1)a_{n-1}&\ddots &\ddots &\vdots \\2a_{2}&\vdots &\ddots &na_{n}&0\\a_{1}&2a_{2}&\ddots &(n-1)a_{n-1}&na_{n}\\0&a_{1}&\ddots &\vdots &(n-1)a_{n-1}\\\vdots &\ddots &\ddots &2a_{2}&\vdots \\\vdots &&\ddots &a_{1}&2a_{2}\\0&\cdots &\cdots &0&a_{1}\\\end{array}} ^{n{\text{ colonnes}}}}$

et après simplification du coefficient ${\displaystyle a_{n}}$ sur la première ligne du déterminant, afin d'obtenir une définition valable sur tout anneau commutatif :

${\displaystyle \Delta (P)=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\overbrace {\begin{array}{|cccc}1&0&\cdots &0\\a_{n-1}&a_{n}&\ddots &\vdots \\\vdots &a_{n-1}&\ddots &0\\a_{2}&\vdots &\ddots &a_{n}\\a_{1}&a_{2}&\ddots &a_{n-1}\\a_{0}&a_{1}&\ddots &\vdots \\0&a_{0}&\ddots &a_{2}\\\vdots &\ddots &\ddots &a_{1}\\0&\cdots &0&a_{0}\\\end{array}} ^{n-1{\text{ colonnes}}}\overbrace {\begin{array}{ccccc|}n&0&\cdots &\cdots &0\\(n-1)a_{n-1}&na_{n}&\ddots &&\vdots \\\vdots &(n-1)a_{n-1}&\ddots &\ddots &\vdots \\2a_{2}&\vdots &\ddots &na_{n}&0\\a_{1}&2a_{2}&\ddots &(n-1)a_{n-1}&na_{n}\\0&a_{1}&\ddots &\vdots &(n-1)a_{n-1}\\\vdots &\ddots &\ddots &2a_{2}&\vdots \\\vdots &&\ddots &a_{1}&2a_{2}\\0&\cdots &\cdots &0&a_{1}\\\end{array}} ^{n{\text{ colonnes}}}}$

• Nicolas Bourbaki, Algèbre, Chapitres 4 à 7, Springer, 2006, 432 p. (ISBN 3-540-34398-9)
• (en) Paul Moritz Cohn, Basic Algebra, Springer, 2005, 480 p. (ISBN 81-8128-047-4)
• Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]
• (en) Saunders Mac Lane et Garrett Birkhoff, Algebra, AMS, 1999, 3^e éd., 626 p. (ISBN 0-8218-1646-2, lire en ligne)
• Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres [détail de l’édition]
• Daniel Perrin, Cours d'algèbre [détail des éditions]
• (en) Robert J. Walker, Algebraic curves, Springer, 1978 (ISBN 978-03-879-0361-3)

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