Nombre de Marangoni

Le nombre de Marangoni (noté $Ma$ le plus souvent, parfois $Mg$ )[Note 1] est un nombre sans dimension, utilisé en mécanique des fluides, évaluant l'intensité du phénomène de convection à l'interface liquide-gaz (aussi appelé phénomène de thermocapillarité)[1]^,[Note 2].

Le nombre de Marangoni a été nommé ainsi en référence au physicien italien Carlo Marangoni (en) (1840-1925) qui étudia la convection au niveau des surfaces libres induite par la variation de la tension superficielle avec la température[2].

Quantitativement, le nombre de Marangoni effectue le rapport des effets thermocapillaires aux effets dissipatifs (viscosité et diffusion thermique) lorsqu'un gradient de température est appliqué à la surface libre d'un liquide (souvent de l'eau)[3].

Le nombre de Marangoni peut ainsi être évalué par la formule suivante[4] :

\mathrm {Ma} =-{\frac {\partial \sigma }{\partial T}}~{\frac {L_{c}~\Delta T}{\eta ~\alpha }}

avec :

$L_{c}$ : la longueur caractéristique du système[Note 3] (en m)
${\frac {\partial \sigma }{\partial T}}$ : la dépendance de la tension superficielle avec la température (en N m⁻¹ K⁻¹)
$\alpha$ : la diffusivité thermique du liquide (en m² s⁻¹)
$\eta$ : la viscosité dynamique du liquide (en Pa s)
$\Delta T$ : la différence de température (en K)

La présence du signe négatif (–) permet d'obtenir un nombre adimensionnel $Ma$ positif du fait de la décroissance, généralement constatée, de la tension superficielle avec la température (les autres grandeurs étant strictement positives).

Lorsque la valeur du nombre de Marangoni est faible, les effets thermocapillaires sont négligeables face aux phénomènes de diffusion thermique et de viscosité. Pour des valeurs élevées de ce nombre, la convection de surface (générée par le gradient de tension superficielle) domine.

Au-delà d'une valeur critique[5] (notée $Ma_{c}$ ), il apparaît des instabilités, appelées instabilités de Bénard-Marangoni, au sein du système constitué par la couche de liquide[6].

Par extrapolation, on peut considérer d'autres causes de variation de la tension superficielle comme la concentration de certains solutés[Note 4] (par exemple, les surfactants ou les tensioactifs contenus dans les détergents) ou, plus rarement, la densité de charge électrique. Dans ces cas d'étude, il suffit d'adapter la définition du nombre de Marangoni pour tenir compte de ces phénomènes.

Notes et références

Notes

Dans la littérature scientifique internationale, la notation $Ma$ peut aussi désigner le nombre de Mach, la notation $Mg$ peut alors être utilisée pour éviter toute ambiguïté.
Les expressions effet Marangoni thermique ou convection de Bénard-Marangoni peuvent également être employées.
Typiquement, c'est l'épaisseur de couche de fluide concernée par le gradient de température.
Dans ce cas particulier, on parle d'effet Marangoni solutal.

Références

(27-31 août 2007) « Etude des instabilités thermocapillaires et thermogravitaires dans un bain d’huile » (pdf) dans 18^e Congrès français de mécanique : 6 p., Grenoble: I-Revues, p. 1. Consulté le 2 mars 2019.
(en) Thierry Duffar, « Marangoni Convection in Crystal Growth (ch. 7) », dans Crystal Growth Processes Based on Capillarity : Czochralski, Floating Zone, Shaping and Crucible Techniques [« Processus de croissance cristalline basés sur la capillarité »], Blackwell Pub, 20 avril 2010, 592 p. (ISBN 978-0-470-71244-3 et 978-1-444-32023-7, DOI 10.1002/9781444320237, présentation en ligne), p. 413-464
Séverine Rossomme, « Description des phénomènes modélisés (ch. 1) », dans Modélisation de l’évaporation des films liquides minces, y compris au voisinage des lignes de contact : Application aux caloducs à rainures (Thèse de doctorat), Université libre de Bruxelles, Service en ligne de l'Université libre de Bruxelles, 17 décembre 2008 (lire en ligne [PDF]), p. 15
Étienne Guyon, Jean-Pierre Hulin et Luc Petit, Hydrodynamique physique (Cours Universitaire), Paris, EDP Sciences, coll. « Savoirs Actuels », 2012, 3^e éd. (1^re éd. 1991), 724 p., 23 × 16 cm, couverture couleur, relié (ISBN 978-2-7598-0893-9, lire en ligne), chap. 11 (« Instabilités hydrodynamiques »), p. 588-589.
Rémi Bertossi, « Présentation des caloducs et phénomènes physiques mis en jeu (ch. 1) », dans Modélisation des transferts de chaleur et de masse dans les caloducs : Contribution à l'analyse des phénomènes d'interfaces intervenant dans les écoulements diphasiques (Thèse de doctorat), École nationale supérieure de mécanique et d'aérotechnique, École doctorale : sciences et ingénierie en matériaux, mécanique, énergétique et aéronautique, 9 décembre 2009 (lire en ligne [PDF]), p. 73
(juillet 2015) « Instabilités convectives dans un modèle thermique du séchage d’une solution » (pdf) dans 22^e Congrès Français de Mécanique : 12 p., Lyon: Portail HAL UPEC - UPEM, p. 3 & 9. Consulté le 2 mars 2019.

Voir aussi

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[1] Dans la littérature scientifique internationale, la notation $Ma$ peut aussi désigner le nombre de Mach, la notation $Mg$ peut alors être utilisée pour éviter toute ambiguïté.

[3] Les expressions effet Marangoni thermique ou convection de Bénard-Marangoni peuvent également être employées.

[7] Typiquement, c'est l'épaisseur de couche de fluide concernée par le gradient de température.

[10] Dans ce cas particulier, on parle d'effet Marangoni solutal.

[2] (27-31 août 2007) « Etude des instabilités thermocapillaires et thermogravitaires dans un bain d’huile » (pdf) dans 18^e Congrès français de mécanique : 6 p., Grenoble: I-Revues, p. 1. Consulté le 2 mars 2019.

[4] (en) Thierry Duffar, « Marangoni Convection in Crystal Growth (ch. 7) », dans Crystal Growth Processes Based on Capillarity : Czochralski, Floating Zone, Shaping and Crucible Techniques [« Processus de croissance cristalline basés sur la capillarité »], Blackwell Pub, 20 avril 2010, 592 p. (ISBN 978-0-470-71244-3 et 978-1-444-32023-7, DOI 10.1002/9781444320237, présentation en ligne), p. 413-464

[5] Séverine Rossomme, « Description des phénomènes modélisés (ch. 1) », dans Modélisation de l’évaporation des films liquides minces, y compris au voisinage des lignes de contact : Application aux caloducs à rainures (Thèse de doctorat), Université libre de Bruxelles, Service en ligne de l'Université libre de Bruxelles, 17 décembre 2008 (lire en ligne [PDF]), p. 15

[6] Étienne Guyon, Jean-Pierre Hulin et Luc Petit, Hydrodynamique physique (Cours Universitaire), Paris, EDP Sciences, coll. « Savoirs Actuels », 2012, 3^e éd. (1^re éd. 1991), 724 p., 23 × 16 cm, couverture couleur, relié (ISBN 978-2-7598-0893-9, lire en ligne), chap. 11 (« Instabilités hydrodynamiques »), p. 588-589.

[8] Rémi Bertossi, « Présentation des caloducs et phénomènes physiques mis en jeu (ch. 1) », dans Modélisation des transferts de chaleur et de masse dans les caloducs : Contribution à l'analyse des phénomènes d'interfaces intervenant dans les écoulements diphasiques (Thèse de doctorat), École nationale supérieure de mécanique et d'aérotechnique, École doctorale : sciences et ingénierie en matériaux, mécanique, énergétique et aéronautique, 9 décembre 2009 (lire en ligne [PDF]), p. 73

[9] (juillet 2015) « Instabilités convectives dans un modèle thermique du séchage d’une solution » (pdf) dans 22^e Congrès Français de Mécanique : 12 p., Lyon: Portail HAL UPEC - UPEM, p. 3 & 9. Consulté le 2 mars 2019.