Nombre intouchable

En arithmétique, un nombre intouchable est un entier naturel qui ne peut pas être exprimé comme la somme des diviseurs stricts d'un entier quelconque.

Exemples
  • 9 n'est pas intouchable, car 15 a pour diviseurs stricts : 5, 3 et 1 ; or 9 = 1 + 3 + 5.
  • 5 est intouchable car la seule somme d'entiers positifs distincts incluant 1 et égale à 5 est 1 + 4, or tout nombre divisible par 4 est aussi divisible par 2.
  • Les nombres intouchables inférieurs à 250[1] sont 2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246 et 248.

Propriétés

Paul Erdős a prouvé qu'il existe une infinité de nombres intouchables[2].

On suppose que 5 est le seul nombre intouchable impair, mais cette conjecture n'a pas été démontrée. Si elle est vraie alors 2 et 5 sont les seuls nombres premiers intouchables.

Aucun nombre parfait n'est intouchable, puisque ces nombres sont ceux égaux à la somme de leurs propres diviseurs stricts.

Notes et références
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Untouchable number » (voir la liste des auteurs).
  1. Pour ceux inférieurs à 60 000, voir ce lien de la suite A005114 de l'OEIS.
  2. (en) « Untouchable number », sur PlanetMath.
  • Arithmétique et théorie des nombres
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